Sejam e duas funções continuamente diferenciáveis em e seja a função definida por . Calcule .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas funções, e , que são continuamente diferenciáveis em todos os números reais. A função está definida por:
Nosso objetivo é calcular a derivada parcial mista de , ou seja, . Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais de funções de várias variáveis.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a . A derivada parcial em relação a significa que tratamos como uma constante.
Derivando cada termo de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
    • Aqui usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , multiplicada pela derivada de em relação a .
    • , então .
    • Portanto, .
  2. Derivada de em relação a :
    • é tratado como uma constante, então a derivada é .
  3. Derivada de em relação a :
    • Simplesmente .
  4. Derivada de em relação a :
    • Como não depende de , a derivada é 0.
Juntando tudo:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada parcial da expressão que obtivemos em relação a . Ou seja, vamos derivar em relação a .
Derivando cada termo de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
    • Usamos a regra do produto: .
  2. Derivada de em relação a :
    • é tratado como uma constante, então a derivada é .
  3. Derivada de em relação a :
    • Como não depende de , a derivada é 0.
Juntando tudo:

Resposta

A derivada parcial mista de é:

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Encontre as derivadas parciais indicadas: ?
Encontre as derivadas parciais indicadas: ?
Encontre a inclinação da reta tangente à curva interseção do gráfico de com o plano , no ponto .