Sejam
e
duas funções continuamente diferenciáveis em
e seja
a função definida por
. Calcule
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas funções,
e
, que são continuamente diferenciáveis em todos os números reais. A função
está definida por:
Nosso objetivo é calcular a derivada parcial mista de
, ou seja,
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais de funções de várias variáveis.
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
. A derivada parcial em relação a
significa que tratamos
como uma constante.
Derivando cada termo de
em relação a
:
-
Derivada de
em relação a : - Aqui usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a é , multiplicada pela derivada de em relação a . -
, então . - Portanto,
.
- Aqui usamos a regra da cadeia. A derivada de
-
Derivada de
em relação a : -
é tratado como uma constante, então a derivada é .
-
-
Derivada de
em relação a : - Simplesmente
.
- Simplesmente
-
Derivada de
em relação a : - Como
não depende de , a derivada é 0.
- Como
Juntando tudo:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a derivada parcial da expressão que obtivemos em relação a
. Ou seja, vamos derivar
em relação a
.
Derivando cada termo de
em relação a
:
-
Derivada de
em relação a : - Usamos a regra do produto:
.
- Usamos a regra do produto:
-
Derivada de
em relação a : -
é tratado como uma constante, então a derivada é .
-
-
Derivada de
em relação a : - Como
não depende de , a derivada é 0.
- Como
Juntando tudo:
Resposta
A derivada parcial mista de
é:
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Considere
. Calcule
, sabendo que
e
.
Encontre as derivadas parciais indicadas:
?
Encontre as derivadas parciais indicadas:
?
Encontre a inclinação da reta tangente à curva interseção do gráfico de
com o plano
, no ponto
.