Sejam g e h duas funções continuamente diferenciáveis em R e seja f a função definida por f(x, y)=e^x y+g(x) h(y)+g(x)+h(y). Calcule partial^2 fpartial x partial y.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas funções, f(x, y) = e^xy + g(x) h(y) + g(x) + h(y) e , que são continuamente diferenciáveis em todos os números reais. A função está definida por:
Nosso objetivo é calcular a derivada parcial mista de , ou seja, . Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais de funções de várias variáveis.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial de partial fpartial x = y e^xy + h(y) g'(x) + g'(x) em relação a . A derivada parcial em relação a significa que tratamos como uma constante.
Derivando cada termo de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
    • Aqui usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , multiplicada pela derivada de em relação a .
    • , então .
    • Portanto, .
  2. Derivada de em relação a :
    • é tratado como uma constante, então a derivada é .
  3. Derivada de em relação a :
    • Simplesmente .
  4. Derivada de em relação a :
    • Como não depende de , a derivada é 0.
Juntando tudo:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada parcial da expressão que obtivemos em relação a partial^2 fpartial x partial y = e^xy + xy e^xy + g'(x) h'(y) . Ou seja, vamos derivar em relação a .
Derivando cada termo de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
    • Usamos a regra do produto: .
  2. Derivada de em relação a :
    • é tratado como uma constante, então a derivada é .
  3. Derivada de em relação a :
    • Como não depende de , a derivada é 0.
Juntando tudo:

Resposta

A derivada parcial mista de partial^2 fpartial x partial y = e^xy (1 + xy) + g'(x) h'(y) é:

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