Encontre a inclinação da reta tangente à curva interseção do gráfico de com o plano , no ponto .

Passo 1

No enunciado, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente à curva de interseção entre o gráfico de e o plano no ponto . Vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas, para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a equação da curva de interseção das duas superfícies. Sabemos que no plano , o valor de é constante. Então, substituímos na equação de :
Portanto, a curva de interseção pode ser parametrizada por :

Passo 3

Para encontrar a reta tangente a essa curva no ponto dado, precisamos calcular a derivada de em relação a , ou seja, , no ponto .
Vamos derivar a função :
Usando a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, derivamos com relação a :

Passo 5

Substituímos essa derivada na expressão para :

Passo 6

Agora, avaliamos no ponto :

Resposta

A inclinação da reta tangente é .

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Encontre as derivadas parciais indicadas: ?
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