Encontre as derivadas parciais das seguintes funções

Passo 1

Vamos resolver um exercício de derivadas parciais. A função dada é . Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a e a . Para isso, vamos precisar lembrar das regras básicas de derivação para funções com múltiplas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .

Passo 3

Para calcular , tratamos como uma constante e derivamos cada termo da função:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é multiplicado pela derivada interna , ou seja, (pela regra da cadeia).

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .

Passo 5

Para calcular , tratamos como uma constante e derivamos cada termo da função:
  • A derivada de em relação a é , já que não depende de .
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é multiplicado pela derivada interna , ou seja, .

Resposta

As derivadas parciais são:
e

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A função se e se . Determine o valor de de modo que seja contínua.
Mostre que .
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Escreva a função composta na forma .
Identifique a função de dentro e a de fora .] Então, encontre a derivada .