Mostre que
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar o limite da função
quando o ponto
se aproxima de
. Isso envolve conceitos de limites em funções de duas variáveis. Para resolver, vamos analisar como a função se comporta à medida que
se aproxima de
de diferentes maneiras.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar que quando
se aproxima de
, tanto
quanto
estão próximos de zero. Vamos analisar a função
. O numerador
representa a soma dos valores absolutos de
e
, enquanto o denominador
é sempre positivo, já que é uma soma de quadrados.
Passo 3
Para investigar o comportamento do limite, podemos utilizar coordenadas polares, onde
e
, e
representa a distância do ponto
até a origem
. Substituindo essas expressões na função, temos:
Passo 4
Simplificando a expressão, podemos cancelar um fator
do numerador e do denominador:
À medida que
se aproxima de
, o denominador
também se aproxima de
, mas o numerador
permanece limitado, já que
e
são no máximo
.
Passo 5
Então, quanto menor for
, maior será o valor da fração
. Isso significa que, à medida que
se aproxima de
, a função
cresce sem limites, ou seja, tende ao infinito.
Resposta
Portanto,
.
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Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.
Encontre
.
A função
se
e
se
. Determine o valor de
de modo que
seja contínua.
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