Mostre que lim (x, y) (0,0) |x|+|y|x^2+5 y^2=infty.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar o limite da função |x| + |y|x^2 + 5y^2 quando o ponto (x, y) se aproxima de (0, 0). Isso envolve conceitos de limites em funções de duas variáveis. Para resolver, vamos analisar como a função se comporta à medida que (x, y) se aproxima de (0, 0) de diferentes maneiras.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar que quando (x, y) se aproxima de (0, 0), tanto x quanto y estão próximos de zero. Vamos analisar a função |x| + |y|x^2 + 5y^2. O numerador |x| + |y| representa a soma dos valores absolutos de x e y, enquanto o denominador x^2 + 5y^2 é sempre positivo, já que é uma soma de quadrados.

Passo 3

Para investigar o comportamento do limite, podemos utilizar coordenadas polares, onde x = rcostheta e y = rsintheta, e r representa a distância do ponto (x, y) até a origem (0, 0). Substituindo essas expressões na função, temos:
|x| + |y|x^2 + 5y^2 = r|costheta| + r|sintheta|r^2cos^2theta + 5r^2sin^2theta = r(|costheta| + |sintheta|)r^2(cos^2theta + 5sin^2theta)

Passo 4

Simplificando a expressão, podemos cancelar um fator r do numerador e do denominador:
|costheta| + |sintheta|r(cos^2theta + 5sin^2theta)
À medida que r se aproxima de 0, o denominador r(cos^2theta + 5sin^2theta) também se aproxima de 0, mas o numerador |costheta| + |sintheta| permanece limitado, já que |costheta| e |sintheta| são no máximo 1.

Passo 5

Então, quanto menor for r, maior será o valor da fração |costheta| + |sintheta|r(cos^2theta + 5sin^2theta). Isso significa que, à medida que (x, y) se aproxima de (0, 0), a função |x| + |y|x^2 + 5y^2 cresce sem limites, ou seja, tende ao infinito.

Resposta

Portanto, lim (x, y) (0,0) |x|+|y|x^2+5 y^2 = infty.

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