Mostre que .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar o limite da função quando o ponto se aproxima de . Isso envolve conceitos de limites em funções de duas variáveis. Para resolver, vamos analisar como a função se comporta à medida que se aproxima de de diferentes maneiras.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar que quando se aproxima de , tanto quanto estão próximos de zero. Vamos analisar a função . O numerador representa a soma dos valores absolutos de e , enquanto o denominador é sempre positivo, já que é uma soma de quadrados.

Passo 3

Para investigar o comportamento do limite, podemos utilizar coordenadas polares, onde e , e representa a distância do ponto até a origem . Substituindo essas expressões na função, temos:

Passo 4

Simplificando a expressão, podemos cancelar um fator do numerador e do denominador:
À medida que se aproxima de , o denominador também se aproxima de , mas o numerador permanece limitado, já que e são no máximo .

Passo 5

Então, quanto menor for , maior será o valor da fração . Isso significa que, à medida que se aproxima de , a função cresce sem limites, ou seja, tende ao infinito.

Resposta

Portanto, .

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