Encontre as derivadas parciais das seguintes funções
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra encontrar as derivadas parciais da função
. Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, mais especificamente com derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como derivar funções trigonométricas e usar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. A função
é composta pela função
, onde
.
Passo 3
A derivada da função
em relação a
é
. Então, aplicando a regra da cadeia, temos:
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
. Como
e
são tratadas como constantes na derivada parcial em relação a
, a derivada é simplesmente
.
Passo 5
Então, substituindo de volta na expressão da derivada, temos:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Passo 7
Derivando
em relação a
:
Passo 8
Substituindo de volta:
Passo 9
Por fim, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Passo 10
Derivando
em relação a
:
Passo 11
Substituindo de volta:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
Exercícios relacionados
Seja
um conjunto e considere o conjunto parcialmente ordenado
. Sejam
e
subconjuntos de
. Determine o supremo de
, se existir;
Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.
Escreva a função composta na forma
.
Identifique a função de dentro e a de fora
.] Então, encontre a derivada
.
Identifique a função de dentro
Encontre a derivada da função.