Encontre as derivadas parciais das seguintes funções

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra encontrar as derivadas parciais da função . Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, mais especificamente com derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como derivar funções trigonométricas e usar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . A função é composta pela função , onde .

Passo 3

A derivada da função em relação a é . Então, aplicando a regra da cadeia, temos:

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a . Como e são tratadas como constantes na derivada parcial em relação a , a derivada é simplesmente .

Passo 5

Então, substituindo de volta na expressão da derivada, temos:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .

Passo 7

Derivando em relação a :

Passo 8

Substituindo de volta:

Passo 9

Por fim, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .

Passo 10

Derivando em relação a :

Passo 11

Substituindo de volta:

Resposta

As derivadas parciais da função são:

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Encontre a derivada da função.