Escreva a função composta na forma f(g(x)).
Identifique a função de dentro u = g(x) e a de fora y = f(u).] Então, encontre a derivada d y / d x. y = (x^2 + 4x + 6)^5

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa escrever a função composta na forma f(g(x)), identificar qual é a função de dentro e a de fora . Depois disso, vamos encontrar a derivada dy/dx da função . Para isso, vamos usar o conceito de derivação em funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função composta. É quando temos uma função dentro de outra, tipo f(g(x)). Aqui, g(x) é a função que está “dentro” e é a que está “por fora”, onde . Isso é importante porque para derivar uma função composta, usamos a regra da cadeia.

Passo 3

Agora, vamos identificar as funções de dentro e de fora na nossa expressão .
  • A função de dentro, g(x), é o que está dentro dos parênteses: .
  • A função de fora, , é a parte que envolve o g(x): , onde .

Passo 4

Com as funções identificadas, vamos lembrar como derivar uma função composta. A regra da cadeia diz que a derivada de é . Ou seja, a derivada da função de fora multiplicada pela derivada da função de dentro.

Passo 5

Vamos calcular agora as derivadas das funções separadamente:
  • Derivada de :
    Usamos a regra do expoente: .
  • Derivada de :
    Derivamos cada termo:
    • A derivada de x^2 é .
    • A derivada de é .
    • A derivada de é 0.
    Então, .

Passo 6

Agora aplicamos a regra da cadeia:
.
Substituindo g(x) de volta:
.

Resposta

A derivada de é:

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