Por meio de uma rotação de um ângulo
, reescreva as equações das cônicas abaixo no sistema de coordenadas
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que você está pedindo é para a gente pegar a equação de uma cônica (como uma parábola, elipse ou hipérbole) e fazer uma rotação no sistema de coordenadas. Isso significa que vamos girar o gráfico dessa cônica em torno da origem por um ângulo
. Para resolver isso, vamos precisar saber como transformar as coordenadas quando giramos o sistema e aplicar essas transformações na equação da cônica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como fica a equação de uma cônica geral antes da rotação. Suponha que temos uma elipse na forma padrão:
Aqui,
e
são os eixos da elipse.
Passo 3
Agora, vamos entender como fazer a rotação das coordenadas. Quando giramos o sistema de coordenadas por um ângulo
, as novas coordenadas
estão relacionadas com as antigas
por estas fórmulas:
Essas equações são fundamentais porque elas nos permitem substituir
e
na equação original pela combinação de
e
.
Passo 4
Vamos substituir
e
na equação da elipse com as equações de rotação que acabamos de ver:
Agora, vamos expandir esses termos:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão combinando os termos semelhantes:
Para finalizar, podemos deixar a equação nessa forma ou proceder a simplificações adicionais dependendo do que for solicitado.
Resposta
Após realizar a rotação das coordenadas, a equação da elipse no sistema
fica:
Essa é a equação da cônica rotacionada por um ângulo
no novo sistema de coordenadas
.