Por meio de uma rotação de um ângulo theta, reescreva as equações das cônicas abaixo no sistema de coordenadas u O v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que você está pedindo é para a gente pegar a equação de uma cônica (como uma parábola, elipse ou hipérbole) e fazer uma rotação no sistema de coordenadas. Isso significa que vamos girar o gráfico dessa cônica em torno da origem por um ângulo . Para resolver isso, vamos precisar saber como transformar as coordenadas quando giramos o sistema e aplicar essas transformações na equação da cônica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como fica a equação de uma cônica geral antes da rotação. Suponha que temos uma elipse na forma padrão:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Aqui, e são os eixos da elipse.

Passo 3

Agora, vamos entender como fazer a rotação das coordenadas. Quando giramos o sistema de coordenadas por um ângulo x = u cos theta - v sin theta , as novas coordenadas y = u sin theta + v cos theta estão relacionadas com as antigas por estas fórmulas:
Essas equações são fundamentais porque elas nos permitem substituir e na equação original pela combinação de e .

Passo 4

Vamos substituir (u cos theta - v sin theta)^2a^2 + (u sin theta + v cos theta)^2b^2 = 1 e u^2 cos^2 theta - 2uv sin theta cos theta + v^2 sin^2 thetaa^2 + u^2 sin^2 theta + 2uv sin theta cos theta + v^2 cos^2 thetab^2 = 1 na equação da elipse com as equações de rotação que acabamos de ver:
Agora, vamos expandir esses termos:

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão combinando os termos semelhantes:
u^2 ( cos^2 thetaa^2 + sin^2 thetab^2 ) + v^2 ( sin^2 thetaa^2 + cos^2 thetab^2 ) + uv ( -2 sin theta cos thetaa^2 + 2 sin theta cos thetab^2 ) = 1
Para finalizar, podemos deixar a equação nessa forma ou proceder a simplificações adicionais dependendo do que for solicitado.

Resposta

Após realizar a rotação das coordenadas, a equação da elipse no sistema u^2 ( cos^2 thetaa^2 + sin^2 thetab^2 ) + v^2 ( sin^2 thetaa^2 + cos^2 thetab^2 ) + uv ( -2 sin theta cos thetaa^2 + 2 sin theta cos thetab^2 ) = 1 fica:
Essa é a equação da cônica rotacionada por um ângulo no novo sistema de coordenadas .

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