Encontre as derivadas de segunda ordem para as funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar as derivadas de segunda ordem da função
. Isso envolve usar derivadas parciais, que são essenciais quando trabalhamos com funções de várias variáveis. Vamos precisar lembrar como derivar funções trigonométricas e como aplicar a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos achar as derivadas parciais de primeira ordem em relação a
e
.
-
Derivada parcial em relação a
( ): A gente tratacomo constante: Simplificando: -
Derivada parcial em relação a
( ): Agora, tratacomo constante: Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas de segunda ordem. Primeiro, a segunda derivada parcial em relação a
(
).
Derivando
em relação a
:
Aplicando as regras de derivação:
Simplificando:
Passo 4
Vamos calcular a derivada mista
, ou seja, derivar
em relação a
.
Derivando termo a termo:
Simplificando:
Passo 5
Por fim, vamos achar a segunda derivada parcial em relação a
(
), derivando
em relação a
.
Derivando:
Simplificando:
Resposta
As derivadas de segunda ordem da função
são:
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Dê as expressões gerais dos arcos côngruos a:
e)
e)
Dê as expressões gerais dos arcos côngruos a:
a)
a)
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b)
b)
Dê as expressões gerais dos arcos côngruos a:
c)
c)