Encontre as derivadas de segunda ordem para as funções abaixo: f(x, y) = x * cos(x * y) - y * sen(x * y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar as derivadas de segunda ordem da função . Isso envolve usar derivadas parciais, que são essenciais quando trabalhamos com funções de várias variáveis. Vamos precisar lembrar como derivar funções trigonométricas e como aplicar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as derivadas parciais de primeira ordem em relação a e .
  1. Derivada parcial em relação a ( ):
    A gente trata como constante:
    Simplificando:
  2. Derivada parcial em relação a ( ):
    Agora, trata como constante:
    Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas de segunda ordem. Primeiro, a segunda derivada parcial em relação a ( ).
Derivando em relação a :
Aplicando as regras de derivação:
Simplificando:

Passo 4

Vamos calcular a derivada mista , ou seja, derivar em relação a .
Derivando termo a termo:
Simplificando:

Passo 5

Por fim, vamos achar a segunda derivada parcial em relação a ( ), derivando em relação a .
Derivando:
Simplificando:

Resposta

As derivadas de segunda ordem da função são:

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