Encontre as derivads parciais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as derivadas parciais da função
. Estamos trabalhando com cálculo, especificamente com derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções que têm mais de uma variável, mantendo uma variável constante enquanto derivamos em relação à outra.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que precisamos derivar:
Isso significa que
depende tanto de
quanto de
, e queremos saber como
muda quando variamos apenas
ou apenas
.
Passo 3
Vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Para derivar
em relação a
, tratamos
como uma constante. Usaremos a regra do quociente, que diz que se temos uma função
, a derivada em relação a
é:
Aplicando isso à nossa função:
-
então -
então
Substituindo na fórmula:
Simplificando o numerador:
Então:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Novamente, usamos a regra do quociente, mas agora tratamos
como constante:
-
então -
então
Substituindo na fórmula:
Simplificando o numerador:
Então:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
e
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Verifique que
e
são soluções da equação da onda
Calcule
onde
é igual a:
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