Explique porque, fixado n in N,
& lim x infty e^xx^n=infty & lim x infty ln xx^n=0

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos dois limites para calcular quando tende ao infinito. O primeiro envolve a função exponencial dividida por um polinômio , e o segundo envolve o logaritmo natural também dividido por . Para resolver isso, vamos precisar entender como diferentes funções crescem conforme aumenta e usar propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o limite:
limx to infty e^xx^n
Sabemos que a função exponencial cresce muito mais rapidamente do que qualquer polinômio . Isso significa que, conforme fica cada vez maior, o numerador aumenta muito mais rápido que o denominador . Por causa disso, o quociente tende a crescer sem limites, ou seja, tende ao infinito.

Passo 3

Agora, vamos analisar o segundo limite:
limx to infty ln xx^n
Aqui, temos o logaritmo natural no numerador e um polinômio no denominador. Diferente da função exponencial, o logaritmo cresce muito mais lentamente à medida que aumenta. Isso significa que, conforme fica grande, o denominador cresce muito mais rápido que o numerador . Assim, o quociente tende a zero.

Resposta

Portanto,
limx infty e^xx^n = infty e limx infty ln xx^n = 0

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