Encontre , e caso exista), com
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa encontrar o determinante da matriz e, se possível, a inversa dela. A matriz que temos é:
Para isso, vamos usar conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre determinantes e matrizes inversas. Vamos precisar calcular o determinante para ver se a inversa existe (ela existe se o determinante for diferente de zero) e, se existir, usar a fórmula da inversa para matrizes 3x3.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz . O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vou usar a regra de Sarrus porque costuma ser mais direta.
Para a matriz :
O determinante é:
Aplicando isso na nossa matriz:
Vamos calcular cada termo:
Então:

Passo 3

Agora que temos o determinante, , que é diferente de zero. Isso significa que a matriz tem inversa.
Para encontrar a inversa de uma matriz 3x3, usamos a fórmula:
Onde é a adjunta de , que é a transposta da matriz dos cofatores.
Vamos calcular os cofatores de :
Matriz :
Os cofatores são calculados excluindo a i-ésima linha e a j-ésima coluna e calculando o determinante da matriz resultante, multiplicado por .
Vamos calcular cada cofator:
Então, a matriz dos cofatores é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a adjunta de , que é a transposta da matriz dos cofatores:
Agora, usando a fórmula da inversa:
Isso dá:

Resposta

O determinante de é , e a matriz inversa de é:

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