Use o desenvolvimento de Laplace para calcular o determinante da matriz
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o determinante da matriz usando o desenvolvimento de Laplace. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre determinantes e métodos para calculá-los. Para resolver, vamos precisar entender como funciona o desenvolvimento de Laplace, que nos ajuda a calcular o determinante de matrizes maiores quebrando-o em menores, mais fáceis de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma linha ou coluna para fazer o desenvolvimento de Laplace. A ideia é escolher aquela que tem mais zeros, pois isso simplifica os cálculos. Olhando a matriz A=(ccccc 2 & 7 & 9 & -1 & 1 2 & 8 & 3 & 1 & 0 -1 & 0 & 4 & 3 & 0 2 & 0 & 0 & -1 & 0 1 & 0 & 0 & 0 & 0 ) , vemos que a última linha tem vários zeros:
Isso facilita porque apenas um termo será considerado no desenvolvimento, já que os outros multiplicados por zero não contribuem.
Passo 3
Vamos fazer o desenvolvimento de Laplace pela última linha. A fórmula geral do determinante usando Laplace para uma linha específica é:
det(A) = sumj=1^n (-1)^i+j aij det(Mij)
onde:
det(A) = sumj=1^5 (-1)^5+j a5j det(M5j) é o número da linha escolhida,
percorre as colunas,
são os elementos da matriz,
é a matriz menor, ou submatriz, resultante de remover a linha e a coluna .
Como escolhemos a última linha (), vamos aplicar a fórmula:
Passo 4
Observando a última linha:
[1 0 0 0 0]
Só o primeiro elemento é diferente de zero ( det(A) = (-1)^5+1 times 1 times det(M51) ). Portanto, todos os termos da soma serão zero, exceto quando det(A) = (-1)^6 times det(M51) = 1 times det(M51) . Assim, podemos simplificar:
det(A) = det(M51)
Passo 5
Agora, vamos encontrar a submatriz M51 = (cccc 7 & 9 & -1 & 1 8 & 3 & 1 & 0 0 & 4 & 3 & 0 0 & 0 & -1 & 0 ) removendo a 5ª linha e a 1ª coluna de :
Precisamos calcular o determinante dessa submatriz .
Passo 6
Vamos aplicar novamente o desenvolvimento de Laplace na submatriz M51 = (cccc 7 & 9 & -1 & 1 8 & 3 & 1 & 0 0 & 4 & 3 & 0 0 & 0 & -1 & 0 ) . Novamente, vamos buscar uma linha ou coluna com mais zeros para facilitar. Observando :
A última coluna tem dois zeros, então podemos usá-la para o desenvolvimento.
Passo 7
Aplicando o desenvolvimento de Laplace na última coluna ( det(M51) = sumi=1^4 (-1)^i+4 ai4 det(Ni4) ):
[1 0 0 0]
onde det(M51) = (-1)^1+4 times 1 times det(N14) é a submatriz resultante de remover a det(M51) = (-1)^5 times det(N14) = -1 times det(N14) -ésima linha e a 4ª coluna.
Analisando a última coluna:
det(M51) = -det(N14)
Só o primeiro elemento é diferente de zero ().
Então:
Passo 8
Agora, vamos encontrar a submatriz N14 = (ccc 8 & 3 & 1 0 & 4 & 3 0 & 0 & -1 ) removendo a 1ª linha e a 4ª coluna de :
Vamos calcular o determinante dessa submatriz .
Passo 9
Para uma matriz det(N14) = 8 times 4 times (-1) + 3 times 3 times 0 + 1 times 0 times 0 - (1 times 4 times 0 + 3 times 3 times 8 + (-1) times 0 times 0) , o determinante pode ser calculado pela regra de Sarrus ou pela expansão de Laplace novamente. Vamos usar a regra de Sarrus para facilitar:
det(N14) = (8 times 4 times -1) + 0 + 0 - (0 + 72 + 0)