Use o desenvolvimento de Laplace para calcular o determinante da matriz

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o determinante da matriz usando o desenvolvimento de Laplace. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre determinantes e métodos para calculá-los. Para resolver, vamos precisar entender como funciona o desenvolvimento de Laplace, que nos ajuda a calcular o determinante de matrizes maiores quebrando-o em menores, mais fáceis de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma linha ou coluna para fazer o desenvolvimento de Laplace. A ideia é escolher aquela que tem mais zeros, pois isso simplifica os cálculos. Olhando a matriz , vemos que a última linha tem vários zeros:
Isso facilita porque apenas um termo será considerado no desenvolvimento, já que os outros multiplicados por zero não contribuem.

Passo 3

Vamos fazer o desenvolvimento de Laplace pela última linha. A fórmula geral do determinante usando Laplace para uma linha específica é:
onde:
  • é o número da linha escolhida,
  • percorre as colunas,
  • são os elementos da matriz,
  • é a matriz menor, ou submatriz, resultante de remover a linha e a coluna .
Como escolhemos a última linha ( ), vamos aplicar a fórmula:

Passo 4

Observando a última linha:
Só o primeiro elemento é diferente de zero ( ). Portanto, todos os termos da soma serão zero, exceto quando . Assim, podemos simplificar:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a submatriz removendo a 5ª linha e a 1ª coluna de :
Precisamos calcular o determinante dessa submatriz .

Passo 6

Vamos aplicar novamente o desenvolvimento de Laplace na submatriz . Novamente, vamos buscar uma linha ou coluna com mais zeros para facilitar. Observando :
A última coluna tem dois zeros, então podemos usá-la para o desenvolvimento.

Passo 7

Aplicando o desenvolvimento de Laplace na última coluna ( ):
onde é a submatriz resultante de remover a -ésima linha e a 4ª coluna.
Analisando a última coluna:
Só o primeiro elemento é diferente de zero ( ).
Então:

Passo 8

Agora, vamos encontrar a submatriz removendo a 1ª linha e a 4ª coluna de :
Vamos calcular o determinante dessa submatriz .

Passo 9

Para uma matriz , o determinante pode ser calculado pela regra de Sarrus ou pela expansão de Laplace novamente. Vamos usar a regra de Sarrus para facilitar:

Passo 10

Voltando ao passo 7:

Passo 11

Agora, lembrando do Passo 5:

Resposta

O determinante da matriz é .

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