Use o desenvolvimento de Laplace para calcular o determinante da matriz
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o determinante da matriz usando o desenvolvimento de Laplace. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre determinantes e métodos para calculá-los. Para resolver, vamos precisar entender como funciona o desenvolvimento de Laplace, que nos ajuda a calcular o determinante de matrizes maiores quebrando-o em menores, mais fáceis de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma linha ou coluna para fazer o desenvolvimento de Laplace. A ideia é escolher aquela que tem mais zeros, pois isso simplifica os cálculos. Olhando a matriz , vemos que a última linha tem vários zeros:
Isso facilita porque apenas um termo será considerado no desenvolvimento, já que os outros multiplicados por zero não contribuem.
Passo 3
Vamos fazer o desenvolvimento de Laplace pela última linha. A fórmula geral do determinante usando Laplace para uma linha específica é:
onde:
é o número da linha escolhida,
percorre as colunas,
são os elementos da matriz,
é a matriz menor, ou submatriz, resultante de remover a linha e a coluna .
Como escolhemos a última linha (), vamos aplicar a fórmula:
Passo 4
Observando a última linha:
Só o primeiro elemento é diferente de zero (). Portanto, todos os termos da soma serão zero, exceto quando . Assim, podemos simplificar:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a submatriz removendo a 5ª linha e a 1ª coluna de :
Precisamos calcular o determinante dessa submatriz .
Passo 6
Vamos aplicar novamente o desenvolvimento de Laplace na submatriz . Novamente, vamos buscar uma linha ou coluna com mais zeros para facilitar. Observando :
A última coluna tem dois zeros, então podemos usá-la para o desenvolvimento.
Passo 7
Aplicando o desenvolvimento de Laplace na última coluna ():
onde é a submatriz resultante de remover a -ésima linha e a 4ª coluna.
Analisando a última coluna:
Só o primeiro elemento é diferente de zero ().
Então:
Passo 8
Agora, vamos encontrar a submatriz removendo a 1ª linha e a 4ª coluna de :
Vamos calcular o determinante dessa submatriz .
Passo 9
Para uma matriz , o determinante pode ser calculado pela regra de Sarrus ou pela expansão de Laplace novamente. Vamos usar a regra de Sarrus para facilitar: