Beleza, vamos resolver esse exercício de determinantes! O enunciado pede para calcular o determinante de uma matriz que é uma variação da matriz original cujo determinante já sabemos. Vamos precisar usar as propriedades dos determinantes, especialmente como eles se comportam quando multiplicamos uma linha da matriz por um número.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a matriz original e seu determinante:
|ccc a & b & c d & e & f g & h & i | = 4
O exercício (a) nos pede para encontrar:
|ccc 2a & 2b & 2c d & e & f g & h & i |
Passo 3
Sabemos que multiplicar uma linha de uma matriz por um escalar (número) afeta o determinante da seguinte maneira:
Propriedade: Se multiplicarmos uma linha de uma matriz por um número det(M') = k cdot det(M) , o determinante da nova matriz será vezes o determinante da matriz original.
Matematicamente, se é a matriz original e é a matriz com uma linha multiplicada por , então:
Passo 4
No nosso caso, a primeira linha da matriz original está sendo multiplicada por 2. Aplicando a propriedade que acabamos de ver:
|ccc 2a & 2b & 2c d & e & f g & h & i | = 2 cdot |ccc a & b & c d & e & f g & h & i |
Passo 5
Sabemos que o determinante da matriz original é 4. Substituindo esse valor na equação:
|ccc 2a & 2b & 2c d & e & f g & h & i | = 2 cdot 4 = 8