Encontre as dimensões das constantes a, b e c na equação x=a+b t^2+c t^3, sendo x a posição da partícula e t o tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação da posição de uma partícula: . Aqui, representa a posição (em metros, por exemplo) e é o tempo (em segundos). Nosso objetivo é descobrir quais são as dimensões das constantes , e . Para isso, vamos usar análise dimensional, que nos ajuda a garantir que todas as partes da equação estão “compatíveis” em termos de unidades de medida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa cada termo da equação. A equação diz que a posição é igual a mais mais . Como é uma posição, sua dimensão é de comprimento, que representamos como . O tempo tem dimensão de .

Passo 3

Agora, para que a equação faça sentido, todas as partes dela devem ter a mesma dimensão. Ou seja, , e devem todas ter a dimensão de comprimento .

Passo 4

Vamos analisar cada termo separadamente:
  1. Termo [a] = [L] :
    [b] times [t]^2 = [L]
    Isso significa que [b] times [T]^2 = [L] Rightarrow [b] = [L][T]^2 tem dimensão de comprimento.
  2. Termo [c] times [t]^3 = [L] :
    [c] times [T]^3 = [L] Rightarrow [c] = [L][T]^3
    Sabemos que , então:
    Portanto, tem dimensão de comprimento dividido por tempo ao quadrado.
  3. Termo :
    Substituindo:
    Assim, tem dimensão de comprimento dividido por tempo ao cubo.

Resposta

As dimensões das constantes são:
  • tem dimensão de comprimento, .
  • tem dimensão de comprimento sobre tempo ao quadrado, .
  • tem dimensão de comprimento sobre tempo ao cubo, .

Exercícios relacionados