Encontre as dimensões dos lados do retângulo de maior área que pode ser inscrito
num círculo de raio 1 .
num círculo de raio 1 .
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse problema juntos. A questão pede para encontrar as dimensões dos lados do retângulo com a maior área possível que pode ser inscrito em um círculo de raio 1. Isso envolve conceitos de geometria e um pouquinho de cálculo para otimização. Vamos precisar entender como relacionar o retângulo com o círculo e usar fórmulas de área.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar mentalmente o cenário: temos um círculo de raio 1 e queremos inscrever um retângulo dentro desse círculo. Isso significa que todos os vértices do retângulo tocam a circunferência do círculo.
Passo 3
Vamos chamar os lados do retângulo de
e
. Como os vértices do retângulo estão na circunferência, podemos usar o teorema de Pitágoras para relacionar
e
com o raio do círculo. A diagonal do retângulo é o diâmetro do círculo.
Passo 4
A diagonal do retângulo pode ser encontrada pela fórmula:
Sabemos que o diâmetro do círculo é
. Então:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 5
Agora, queremos maximizar a área
do retângulo, que é dada por:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
e
que maximizam
, sujeitos à restrição
.
Passo 6
Vamos expressar
em função de
usando a equação da restrição:
Substituindo isso na fórmula da área:
Para encontrar o máximo, precisamos derivar
em relação a
e igualar a zero.
Passo 7
Derivando
em relação a
:
Igualando a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 8
Agora que temos
, substituímos de volta na equação da restrição para encontrar
:
Resposta
As dimensões do retângulo de maior área inscrito em um círculo de raio 1 são lados de comprimento
e
.
Exercícios relacionados
Uma marca de salgadinhos sabor batata deseja fazer uma caixa de lata em formato cilíndrico para comportar um peso líquido de 500 ml de produto. Considerando que o custo da tampa seja desprezível em comparação com o custo da lata, calcule as medidas da caixa cilíndrica que minimizam o custo de confeç̧ão da caixa.
Suponha que você tem um metro de barbante e deseja recortá-lo de modo a formar um quadrado e um círculo. Calcule as dimensões do lado do quadrado e do raio do círculo que retornam:
(a) a maior área possível.
(a) a maior área possível.
Encontre os polinômios de Taylor de ordem
das seguintes funções em torno de
.
(b) .
(b)
Calcule os seguintes limites:
© .
©