Encontre as dimensões dos lados do retângulo de maior área que pode ser inscrito
num círculo de raio 1 .

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse problema juntos. A questão pede para encontrar as dimensões dos lados do retângulo com a maior área possível que pode ser inscrito em um círculo de raio 1. Isso envolve conceitos de geometria e um pouquinho de cálculo para otimização. Vamos precisar entender como relacionar o retângulo com o círculo e usar fórmulas de área.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar mentalmente o cenário: temos um círculo de raio 1 e queremos inscrever um retângulo dentro desse círculo. Isso significa que todos os vértices do retângulo tocam a circunferência do círculo.

Passo 3

Vamos chamar os lados do retângulo de e . Como os vértices do retângulo estão na circunferência, podemos usar o teorema de Pitágoras para relacionar e com o raio do círculo. A diagonal do retângulo é o diâmetro do círculo.

Passo 4

A diagonal do retângulo pode ser encontrada pela fórmula:
Sabemos que o diâmetro do círculo é . Então:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:

Passo 5

Agora, queremos maximizar a área do retângulo, que é dada por:
Nosso objetivo é encontrar os valores de e que maximizam , sujeitos à restrição .

Passo 6

Vamos expressar em função de usando a equação da restrição:
Substituindo isso na fórmula da área:
Para encontrar o máximo, precisamos derivar em relação a e igualar a zero.

Passo 7

Derivando em relação a :
Igualando a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 8

Agora que temos , substituímos de volta na equação da restrição para encontrar :

Resposta

As dimensões do retângulo de maior área inscrito em um círculo de raio 1 são lados de comprimento e .

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