Uma marca de salgadinhos sabor batata deseja fazer uma caixa de lata em formato cilíndrico para comportar um peso líquido de 500 ml de produto. Considerando que o custo da tampa seja desprezível em comparação com o custo da lata, calcule as medidas da caixa cilíndrica que minimizam o custo de confeç̧ão da caixa.

Passo 1

Então, galera! A gente tem um exercício que fala sobre uma fábrica de salgadinhos que quer fazer uma caixa cilíndrica para guardar 500 ml de produto. A ideia é descobrir quais medidas (raio e altura) dessa lata vão fazer com que o custo de produção seja o menor possível. Vamos usar um pouco de geometria e cálculo pra resolver isso!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o volume de um cilindro é dado pela fórmula:
Onde:
  • é o volume,
  • é o raio da base,
  • é a altura.
Como queremos que o volume seja 500 ml (que vamos considerar como 500 cm³), temos:
Essa equação nos ajuda a relacionar o raio e a altura da lata.

Passo 3

Agora, queremos minimizar o custo de produção da lata. Geralmente, o custo está relacionado à área da superfície que a lata vai ter. A área da superfície de um cilindro, sem contar a tampa, é:
Onde:
  • é a área lateral,
  • é a área da base.

Passo 4

Nosso objetivo é minimizar , mas temos uma restrição: o volume deve ser 500 cm³. Para facilitar, vamos expressar em termos de usando a equação do volume:

Passo 5

Substituindo na fórmula da área da superfície:
Simplificando:
Agora, nossa função para minimizar é .

Passo 6

Para encontrar o mínimo dessa função, vamos derivar em relação a e igualar a zero:
Resolvendo para :

Passo 7

Agora que temos , podemos encontrar usando a equação do volume:
Substituindo :
Simplificando:

Resposta

As medidas que minimizam o custo de produção da caixa cilíndrica são:
  • Raio: cm
  • Altura: cm
Isso significa que o raio e a altura da lata devem ser iguais e aproximadamente cm cada para minimizar o custo de fabricação.

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(a) a maior área possível.
Suponha que você tem um metro de barbante e deseja recortá-lo de modo a formar um quadrado e um círculo. Calcule as dimensões do lado do quadrado e do raio do círculo que retornam:
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num círculo de raio 1 .
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(b) .