Uma marca de salgadinhos sabor batata deseja fazer uma caixa de lata em formato cilíndrico para comportar um peso líquido de 500 ml de produto. Considerando que o custo da tampa seja desprezível em comparação com o custo da lata, calcule as medidas da caixa cilíndrica que minimizam o custo de confeç̧ão da caixa.
Passo 1
Então, galera! A gente tem um exercício que fala sobre uma fábrica de salgadinhos que quer fazer uma caixa cilíndrica para guardar 500 ml de produto. A ideia é descobrir quais medidas (raio e altura) dessa lata vão fazer com que o custo de produção seja o menor possível. Vamos usar um pouco de geometria e cálculo pra resolver isso!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o volume de um cilindro é dado pela fórmula:
Onde:
-
é o volume, -
é o raio da base, -
é a altura.
Como queremos que o volume seja 500 ml (que vamos considerar como 500 cm³), temos:
Essa equação nos ajuda a relacionar o raio e a altura da lata.
Passo 3
Agora, queremos minimizar o custo de produção da lata. Geralmente, o custo está relacionado à área da superfície que a lata vai ter. A área da superfície de um cilindro, sem contar a tampa, é:
Onde:
-
é a área lateral, -
é a área da base.
Passo 4
Nosso objetivo é minimizar
, mas temos uma restrição: o volume deve ser 500 cm³. Para facilitar, vamos expressar
em termos de
usando a equação do volume:
Passo 5
Substituindo
na fórmula da área da superfície:
Simplificando:
Agora, nossa função para minimizar é
.
Passo 6
Para encontrar o mínimo dessa função, vamos derivar
em relação a
e igualar a zero:
Resolvendo para
:
Passo 7
Agora que temos
, podemos encontrar
usando a equação do volume:
Substituindo
:
Simplificando:
Resposta
As medidas que minimizam o custo de produção da caixa cilíndrica são:
- Raio:
cm - Altura:
cm
Isso significa que o raio e a altura da lata devem ser iguais e aproximadamente
cm cada para minimizar o custo de fabricação.
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Suponha que você tem um metro de barbante e deseja recortá-lo de modo a formar um quadrado e um círculo. Calcule as dimensões do lado do quadrado e do raio do círculo que retornam:
(a) a maior área possível.
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(b) a menor área possível.
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.
(b) .
(b)