Encontre os polinômios de Taylor de ordem
das seguintes funções em torno de
.
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão que pede para encontrarmos os polinômios de Taylor de ordem
para a função
em torno de
. Para isso, vamos usar o conceito de série de Taylor, que nos ajuda a aproximar funções por polinômios. Vamos precisar calcular as derivadas da função
e avaliar essas derivadas em
.
Passo 2
Primeiro, lembramos a fórmula geral do polinômio de Taylor de ordem
para uma função
em torno de
:
Aqui,
representa a
-ésima derivada de
avaliada em
, e
é o fatorial de
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
:
-
Primeira derivada:
Avaliada em:
-
Segunda derivada:
Avaliada em:
-
Terceira derivada:
Avaliada em:
-
Quarta derivada:
Avaliada em:
Observamos que as derivadas de
se repetem a cada quatro passos.
Passo 4
Com as derivadas calculadas, vamos montar o polinômio de Taylor até a ordem
. Observamos que apenas as derivadas de ordem par são diferentes de zero. Então, o polinômio de Taylor de ordem
para
é dado por:
Onde
representa a parte inteira de
, garantindo que consideramos apenas as potências pares até a ordem
.
Resposta
O polinômio de Taylor de ordem
para
em torno de
é: