Encontre os polinômios de Taylor de ordem n das seguintes funções em torno de x0 = 0.
(b) f(x) = cos(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão que pede para encontrarmos os polinômios de Taylor de ordem n para a função em torno de . Para isso, vamos usar o conceito de série de Taylor, que nos ajuda a aproximar funções por polinômios. Vamos precisar calcular as derivadas da função e avaliar essas derivadas em x = 0.

Passo 2

Primeiro, lembramos a fórmula geral do polinômio de Taylor de ordem n para uma função f(x) em torno de :
Aqui, representa a k-ésima derivada de f(x) avaliada em 0, e é o fatorial de k.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de :
  1. Primeira derivada:

    Avaliada em 0:
  2. Segunda derivada:

    Avaliada em 0:
  3. Terceira derivada:

    Avaliada em 0:
  4. Quarta derivada:

    Avaliada em 0:
Observamos que as derivadas de se repetem a cada quatro passos.

Passo 4

Com as derivadas calculadas, vamos montar o polinômio de Taylor até a ordem n. Observamos que apenas as derivadas de ordem par são diferentes de zero. Então, o polinômio de Taylor de ordem n para é dado por:
Onde representa a parte inteira de , garantindo que consideramos apenas as potências pares até a ordem n.

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem n para em torno de x0 = 0 é:

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