Encontre os polinômios de Taylor de ordem das seguintes funções em torno de .
(b) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão que pede para encontrarmos os polinômios de Taylor de ordem para a função em torno de . Para isso, vamos usar o conceito de série de Taylor, que nos ajuda a aproximar funções por polinômios. Vamos precisar calcular as derivadas da função e avaliar essas derivadas em .

Passo 2

Primeiro, lembramos a fórmula geral do polinômio de Taylor de ordem para uma função em torno de :
Aqui, representa a -ésima derivada de avaliada em , e é o fatorial de .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de :
  1. Primeira derivada:

    Avaliada em :
  2. Segunda derivada:

    Avaliada em :
  3. Terceira derivada:

    Avaliada em :
  4. Quarta derivada:

    Avaliada em :
Observamos que as derivadas de se repetem a cada quatro passos.

Passo 4

Com as derivadas calculadas, vamos montar o polinômio de Taylor até a ordem . Observamos que apenas as derivadas de ordem par são diferentes de zero. Então, o polinômio de Taylor de ordem para é dado por:
Onde representa a parte inteira de , garantindo que consideramos apenas as potências pares até a ordem .

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem para em torno de é:

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© .
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(b) .