Suponha que você esteja subindo um morro cujo formato é dado pela equação
e você esteja num ponto de coordenadas (60, 100, 764).
Em qual direção você deve seguir inicialmente de modo a chegar no topo do morro?
Em qual direção você deve seguir inicialmente de modo a chegar no topo do morro?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação de um morro:
. Você está em um ponto com coordenadas (60, 100, 764) nesse morro. A pergunta é: em qual direção você deve começar a subir para chegar ao topo do morro? Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente, que nos indica a direção de subida mais íngreme.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é calculado pelas derivadas parciais em relação a
e
.
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a
:
E a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, substituímos as coordenadas do ponto dado (60, 100) nessas derivadas para encontrar o gradiente naquele ponto:
Então, o gradiente no ponto (60, 100) é
.
Passo 5
O vetor gradiente
indica a direção de maior ascensão. Para encontrar a direção que você deve seguir, vamos normalizar esse vetor, ou seja, transformar em um vetor unitário:
Então, a direção é:
Resposta
Você deve seguir inicialmente na direção aproximadamente de (-0,288, -0,958) para chegar ao topo do morro.
Exercícios relacionados
A temperatura de chapa de metal é dada por
. A partir do ponto
determine:
a direção em que a temperatura cresce o mais rápido possível, assim como essa taxa;
a direção em que a temperatura cresce o mais rápido possível, assim como essa taxa;
Encontre a direção de maior decrescimento da função a partir do ponto indicado. Além disso, determine a derivada da função nessa direção.
;
Use a Regra da cadeia para calcular as derivadas parciais
e
, onde
,
e
.
Encontre a direção de maior crescimento da função, a partir do ponto indicado. Além disso, determine a derivada da função nessa direção.
;