A temperatura de chapa de metal é dada por . A partir do ponto determine:
a direção em que a temperatura decresce o mais rápido possível, assim como essa taxa;

Passo 1

Então, temos uma função que representa a temperatura de uma chapa de metal: . A gente quer, a partir do ponto , encontrar a direção em que a temperatura diminui mais rapidamente e qual é essa taxa de diminuição. Para resolver isso, vamos precisar calcular o gradiente da função temperatura.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de uma função nos dá a direção de maior crescimento. Ou seja, se a gente calcular o gradiente de , ele vai apontar na direção onde a temperatura aumenta mais rapidamente. Mas, como a gente quer a direção de maior diminuição, vamos usar o gradiente invertido.

Passo 3

Para encontrar o gradiente, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e a .
A derivada parcial em relação a é:
A derivada parcial em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto .
Para em :
Para em :
Então, o gradiente em é:

Passo 5

A direção de maior diminuição da temperatura é o oposto do gradiente. Portanto, a direção que a temperatura diminui mais rapidamente é:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a taxa de diminuição máxima, que é o módulo do gradiente.
Calculando o módulo de :

Resposta

A direção em que a temperatura diminui mais rapidamente a partir do ponto é e a taxa de diminuição nessa direção é .

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Encontre a direção de maior crescimento da função, a partir do ponto indicado. Além disso, determine a derivada da função nessa direção.
.
Ns itens a seguir, determine o valor máximo da derivada direcional e um vetor unitário na direção derivada direcional máxima para cada função no ponto indicado:
em ;
Ns itens a seguir, determine o valor máximo da derivada direcional e um vetor unitário na direção derivada direcional máxima para cada função no ponto indicado:
em ;
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