A temperatura de chapa de metal é dada por . A partir do ponto determine:
a direção em que a temperatura decresce o mais rápido possível, assim como essa taxa;
Passo 1
Então, temos uma função que representa a temperatura de uma chapa de metal: . A gente quer, a partir do ponto , encontrar a direção em que a temperatura diminui mais rapidamente e qual é essa taxa de diminuição. Para resolver isso, vamos precisar calcular o gradiente da função temperatura.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de uma função nos dá a direção de maior crescimento. Ou seja, se a gente calcular o gradiente de , ele vai apontar na direção onde a temperatura aumenta mais rapidamente. Mas, como a gente quer a direção de maior diminuição, vamos usar o gradiente invertido.
Passo 3
Para encontrar o gradiente, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e a .
A derivada parcial em relação a é:
A derivada parcial em relação a é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto .
Para em :
Para em :
Então, o gradiente em é:
Passo 5
A direção de maior diminuição da temperatura é o oposto do gradiente. Portanto, a direção que a temperatura diminui mais rapidamente é:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a taxa de diminuição máxima, que é o módulo do gradiente.
Calculando o módulo de :
Resposta
A direção em que a temperatura diminui mais rapidamente a partir do ponto é e a taxa de diminuição nessa direção é .