Ns itens a seguir, determine o valor máximo da derivada direcional e um vetor unitário na direção derivada direcional máxima para cada função no ponto indicado:
em ;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar o valor máximo da derivada direcional da função no ponto . Para isso, vamos precisar calcular o gradiente da função nesse ponto e utilizar conceitos de derivadas direcionais.

Passo 2

A derivada direcional de uma função em uma direção específica é dada pelo produto escalar do gradiente da função com o vetor unitário na direção desejada. Ou seja:
Aqui, é o gradiente de no ponto e é o vetor unitário na direção considerada.

Passo 3

Para encontrar o valor máximo da derivada direcional, lembramos que o máximo ocorre na direção do gradiente da função. Portanto, o valor máximo da derivada direcional é igual ao comprimento do gradiente.
á
E o vetor unitário na direção máxima será o próprio gradiente normalizado.

Passo 4

Vamos calcular o gradiente de :
Calculando as derivadas parciais:

Passo 5

Agora, avaliamos o gradiente no ponto :
Portanto,

Passo 6

Calculamos o comprimento do gradiente:

Passo 7

Agora, encontramos o vetor unitário na direção do gradiente:

Resposta

O valor máximo da derivada direcional é e o vetor unitário na direção máxima é .

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A temperatura de chapa de metal é dada por . A partir do ponto determine:
a direção em que a temperatura decresce o mais rápido possível, assim como essa taxa;
Encontre a direção de maior crescimento da função, a partir do ponto indicado. Além disso, determine a derivada da função nessa direção.
.
A temperatura no ponto de uma placa de metal circular aquecida com centro na origem é dada por , onde é medida em graus Celsius e e em centímetros.
Que direção se deve tomar a partir de afim de que aumente o mais rápido possível?
Prove as seguintes identidades (assuma as funções continuamente deriváveis duas vezes). .