Ns itens a seguir, determine o valor máximo da derivada direcional e um vetor unitário na direção derivada direcional máxima para cada função no ponto indicado: em ;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar o valor máximo da derivada direcional da função no ponto . Para isso, vamos precisar calcular o gradiente da função nesse ponto e utilizar conceitos de derivadas direcionais.
Passo 2
A derivada direcional de uma função em uma direção específica é dada pelo produto escalar do gradiente da função com o vetor unitário na direção desejada. Ou seja:
Aqui, é o gradiente de no ponto e é o vetor unitário na direção considerada.
Passo 3
Para encontrar o valor máximo da derivada direcional, lembramos que o máximo ocorre na direção do gradiente da função. Portanto, o valor máximo da derivada direcional é igual ao comprimento do gradiente.
E o vetor unitário na direção máxima será o próprio gradiente normalizado.
Passo 4
Vamos calcular o gradiente de :
Calculando as derivadas parciais:
Passo 5
Agora, avaliamos o gradiente no ponto :
Portanto,
Passo 6
Calculamos o comprimento do gradiente:
Passo 7
Agora, encontramos o vetor unitário na direção do gradiente:
Resposta
O valor máximo da derivada direcional é e o vetor unitário na direção máxima é .