Encontre a direção de maior decrescimento da função a partir do ponto indicado. Além disso, determine a derivada da função nessa direção.
;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar a direção de maior decrescimento da função no ponto . Isso envolve calcular o gradiente da função nesse ponto e usar ele para encontrar a direção que diminui a função mais rápido. Para isso, vamos precisar entender o que é gradiente e como usar derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e . O gradiente da função é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função, e é dado pelas derivadas parciais.
Agora, substituímos o ponto nessas derivadas:
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 3

A direção de maior decrescimento é justamente a direção oposta ao gradiente. Então, vamos pegar o vetor :
Para termos uma direção unitária, ou seja, de comprimento 1, normalizamos esse vetor. O comprimento do vetor é:
Portanto, a direção de maior decrescimento unitária é:

Passo 4

Agora, vamos determinar a derivada direcional da função nessa direção. A derivada direcional na direção de é dada por:
Já sabemos que e , então:

Resposta

A direção de maior decrescimento da função no ponto é dada pelo vetor unitário:
E a derivada da função nessa direção é:

Exercícios relacionados

Se , mostre que .
Sugestão: Faça .
Seja . Verifique que satisfaz a seguinte equação:
A temperatura de chapa de metal é dada por . A partir do ponto determine:
a direção em que a temperatura cresce o mais rápido possível, assim como essa taxa;
Suponha que você esteja subindo um morro cujo formato é dado pela equação
e você esteja num ponto de coordenadas (60, 100, 764).
Em qual direção você deve seguir inicialmente de modo a chegar no topo do morro?