Encontre a direção de maior decrescimento da função a partir do ponto indicado. Além disso, determine a derivada da função nessa direção. ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer encontrar a direção de maior decrescimento da função no ponto . Isso envolve calcular o gradiente da função nesse ponto e usar ele para encontrar a direção que diminui a função mais rápido. Para isso, vamos precisar entender o que é gradiente e como usar derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e . O gradiente da função é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função, e é dado pelas derivadas parciais.
Agora, substituímos o ponto nessas derivadas:
Então, o gradiente no ponto é:
Passo 3
A direção de maior decrescimento é justamente a direção oposta ao gradiente. Então, vamos pegar o vetor :
Para termos uma direção unitária, ou seja, de comprimento 1, normalizamos esse vetor. O comprimento do vetor é:
Portanto, a direção de maior decrescimento unitária é:
Passo 4
Agora, vamos determinar a derivada direcional da função nessa direção. A derivada direcional na direção de é dada por:
Já sabemos que e , então:
Resposta
A direção de maior decrescimento da função no ponto é dada pelo vetor unitário: