Se , mostre que .
Sugestão: Faça .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema diz que temos uma função e precisa provar que a soma das derivadas parciais de em relação a e é igual a zero, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar cálculo de derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

A sugestão é fazermos uma substituição para simplificar. Vamos definir . Assim, nossa função fica .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Vamos começar com :
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora vamos calcular :
Aqui, , então:

Passo 5

Finalmente, somamos as duas derivadas parciais:

Resposta

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Seja . Verifique que satisfaz a seguinte equação:
Encontre a direção de maior decrescimento da função a partir do ponto indicado. Além disso, determine a derivada da função nessa direção.
;
A temperatura de chapa de metal é dada por . A partir do ponto determine:
a direção em que a temperatura cresce o mais rápido possível, assim como essa taxa;