Se z=f(x-y), mostre que partial zpartial x+partial zpartial y=0.
Sugestão: Faça u=x-y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema diz que temos uma função e precisa provar que a soma das derivadas parciais de em relação a e é igual a zero, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar cálculo de derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

A sugestão é fazermos uma substituição para simplificar. Vamos definir . Assim, nossa função fica .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de partial zpartial x = dfdu cdot partial upartial x em relação a partial zpartial x = f'(u) cdot 1 = f'(x - y) e . Vamos começar com :
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora vamos calcular partial zpartial y = dfdu cdot partial upartial y :
partial zpartial y = f'(u) cdot (-1) = -f'(x - y)
Aqui, , então:

Passo 5

Finalmente, somamos as duas derivadas parciais:
partial zpartial x + partial zpartial y = f'(x - y) + (-f'(x - y)) = 0

Resposta

partial zpartial x + partial zpartial y = 0

Exercícios relacionados