A temperatura de chapa de metal é dada por . A partir do ponto determine:
a direção em que a temperatura cresce o mais rápido possível, assim como essa taxa;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função que descreve a temperatura de uma chapa de metal em função das coordenadas e :
A partir do ponto , precisamos descobrir duas coisas:
  1. A direção em que a temperatura aumenta mais rapidamente.
  2. Qual é essa taxa de aumento.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente da função.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção em que a função cresce mais rápido, e sua magnitude indica quão rápido ela aumenta nessa direção.
Matematicamente, o gradiente de é dado por:
Então, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Porque derivar em relação a , e o termo é tratado como uma constante em relação a .

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Aqui, derivamos em relação a , que resulta em , e o termo permanece como está.

Passo 5

Agora que temos as derivadas parciais, vamos montar o vetor gradiente:
Vamos avaliar esse gradiente no ponto :
Substituindo e :
Simplificando, já que :

Passo 6

Vamos calcular os valores trigonométricos:
Sabemos que:
Substituindo na expressão do gradiente:

Passo 7

Agora, a direção em que a temperatura cresce mais rapidamente é na direção do próprio gradiente. Para expressar essa direção como um vetor unitário (ou seja, com comprimento 1), vamos normalizar o gradiente.
Primeiro, encontramos a magnitude do gradiente:
Então, o vetor direção é:

Passo 8

A taxa de aumento mais rápido é dada pela magnitude do gradiente que calculamos:
Podemos deixar a resposta nessa forma ou calcular um valor aproximado usando uma calculadora:

Resposta

A temperatura cresce mais rapidamente na direção do vetor gradiente , cuja direção normalizada é aproximadamente . A taxa de aumento mais rápido da temperatura nesse ponto é aproximadamente unidades de temperatura por unidade de distância.

Exercícios relacionados

Encontre a direção de maior decrescimento da função a partir do ponto indicado. Além disso, determine a derivada da função nessa direção.
;
Se , mostre que .
Sugestão: Faça .
Suponha que você esteja subindo um morro cujo formato é dado pela equação
e você esteja num ponto de coordenadas (60, 100, 764).
Em qual direção você deve seguir inicialmente de modo a chegar no topo do morro?
Use a Regra da cadeia para calcular as derivadas parciais e , onde , e .