A temperatura de chapa de metal é dada por . A partir do ponto determine:
a direção em que a temperatura cresce o mais rápido possível, assim como essa taxa;
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função que descreve a temperatura de uma chapa de metal em função das coordenadas e :
A partir do ponto , precisamos descobrir duas coisas:
A direção em que a temperatura aumenta mais rapidamente.
Qual é essa taxa de aumento.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente da função.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção em que a função cresce mais rápido, e sua magnitude indica quão rápido ela aumenta nessa direção.
Matematicamente, o gradiente de é dado por:
Então, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Porque derivar em relação a dá , e o termo é tratado como uma constante em relação a .
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Aqui, derivamos em relação a , que resulta em , e o termo permanece como está.
Passo 5
Agora que temos as derivadas parciais, vamos montar o vetor gradiente:
Vamos avaliar esse gradiente no ponto :
Substituindo e :
Simplificando, já que :
Passo 6
Vamos calcular os valores trigonométricos:
Sabemos que:
Substituindo na expressão do gradiente:
Passo 7
Agora, a direção em que a temperatura cresce mais rapidamente é na direção do próprio gradiente. Para expressar essa direção como um vetor unitário (ou seja, com comprimento 1), vamos normalizar o gradiente.
Primeiro, encontramos a magnitude do gradiente:
Então, o vetor direção é:
Passo 8
A taxa de aumento mais rápido é dada pela magnitude do gradiente que calculamos:
Podemos deixar a resposta nessa forma ou calcular um valor aproximado usando uma calculadora:
Resposta
A temperatura cresce mais rapidamente na direção do vetor gradiente , cuja direção normalizada é aproximadamente . A taxa de aumento mais rápido da temperatura nesse ponto é aproximadamente unidades de temperatura por unidade de distância.