Seja f(x, y)=(x-y) e^y. Verifique que f satisfaz a seguinte equação:
partial fpartial x(x, y)+partial fpartial y(x, y)=f(x, y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a função satisfaz a equação . A matéria envolvida aqui é derivadas parciais de funções de duas variáveis. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e e depois somá-las pra ver se dá igual a .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial x = partialpartial x [ (x - y)e^y ] = e^y em relação a , ou seja, . Como , e é tratado como uma constante quando derivamos em relação a , a derivada fica:
Isso porque a derivada de em relação a é 1, e é constante em relação a .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial y = partialpartial y [ (x - y)e^y ] = (x - y) partialpartial y e^y + e^y partialpartial y (x - y) em relação a (x - y) partialpartial y e^y = (x - y)e^y , ou seja, e^y partialpartial y (x - y) = -e^y . Aqui, precisamos usar a regra do produto, já que temos partial fpartial y = (x - y)e^y - e^y = (x - y - 1)e^y multiplicado por :
Calculando cada parte:
Então, juntando tudo:

Passo 4

Agora, vamos somar as derivadas parciais que encontramos:
partial fpartial x + partial fpartial y = e^y + (x - y - 1)e^y
Podemos fatorar e^y (1 + x - y - 1) = e^y (x - y) = (x - y)e^y :
(x - y)e^y = f(x, y)
Isso é exatamente igual a :

Resposta

Sim, a função satisfaz a equação .

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