Seja . Verifique que satisfaz a seguinte equação:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a função satisfaz a equação . A matéria envolvida aqui é derivadas parciais de funções de duas variáveis. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e e depois somá-las pra ver se dá igual a .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Como , e é tratado como uma constante quando derivamos em relação a , a derivada fica:
Isso porque a derivada de em relação a é 1, e é constante em relação a .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, precisamos usar a regra do produto, já que temos multiplicado por :
Calculando cada parte:
Então, juntando tudo:

Passo 4

Agora, vamos somar as derivadas parciais que encontramos:
Podemos fatorar :
Isso é exatamente igual a :

Resposta

Sim, a função satisfaz a equação .

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Derive.
Se , mostre que .
Sugestão: Faça .
Encontre a direção de maior decrescimento da função a partir do ponto indicado. Além disso, determine a derivada da função nessa direção.
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