Seja
. Verifique que
satisfaz a seguinte equação:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a função
satisfaz a equação
. A matéria envolvida aqui é derivadas parciais de funções de duas variáveis. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
e depois somá-las pra ver se dá igual a
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Como
, e
é tratado como uma constante quando derivamos em relação a
, a derivada fica:
Isso porque a derivada de
em relação a
é 1, e
é constante em relação a
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui, precisamos usar a regra do produto, já que temos
multiplicado por
:
Calculando cada parte:
Então, juntando tudo:
Passo 4
Agora, vamos somar as derivadas parciais que encontramos:
Podemos fatorar
:
Isso é exatamente igual a
:
Resposta
Sim, a função
satisfaz a equação
.
Exercícios relacionados
Derive.
Se
, mostre que
.
Sugestão: Faça .
Sugestão: Faça
Encontre a direção de maior decrescimento da função a partir do ponto indicado. Além disso, determine a derivada da função nessa direção.
;