Encontre a distância entre o plano pi: 2 x+2 y-z=6 e o ponto P=(2,2,-4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar a distância entre um plano e um ponto. A matéria envolvida aqui é a geometria analítica, especificamente a fórmula para calcular a distância entre um ponto e um plano. Vamos precisar identificar os coeficientes da equação do plano e as coordenadas do ponto para aplicar a fórmula correta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a distância D = |A x0 + B y0 + C z0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2 entre um ponto e um plano . A fórmula é:
Essa fórmula nos dá a menor distância entre o ponto e o plano, ou seja, a distância perpendicular.

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores na nossa equação do plano e no ponto. A equação do plano dada é , que podemos reescrever como . Assim, temos:
E o ponto tem coordenadas , então:

Passo 4

Vamos substituir esses valores na fórmula da distância:
D = |2 times 2 + 2 times 2 - 1 times (-4) - 6|raiz2^2 + 2^2 + (-1)^2
Calculando o numerador:
2 times 2 = 4 2 times 2 = 4 -1 times (-4) = 4
Então:
4 + 4 + 4 - 6 = 6
E o denominador:
raiz2^2 + 2^2 + (-1)^2 = raiz4 + 4 + 1 = raiz9 = 3

Resposta

A distância entre o ponto e o plano é unidades.

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