Quais das seguintes funções , definidas sobre vetores e em , são formas bilineares?

Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão está perguntando se a função , onde e em , é uma forma bilinear. Para resolver isso, precisamos entender o que é uma forma bilinear e verificar se a função satisfaz os critérios necessários.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma forma bilinear. Uma forma bilinear é uma função que é linear em cada um dos seus dois argumentos separadamente. Isso significa que, se fixarmos um dos vetores, a função deve se comportar como uma função linear em relação ao outro vetor.

Passo 3

Vamos verificar a linearidade em relação ao primeiro argumento . Para a função ser linear em , ela deve satisfazer duas propriedades:
  1. Adicionar vetores:
  2. Multiplicar por escalar:
Vamos testar:
Como , a função NÃO é linear em .

Passo 4

Mesmo que já descobrimos que a função não é linear no primeiro argumento, por completude, vamos verificar a linearidade em relação ao segundo argumento . As propriedades são semelhantes:
  1. Adicionar vetores:
  2. Multiplicar por escalar:
Testando:
Novamente, , então a função NÃO é linear em .

Passo 5

Como a função não é linear nem em nem em , podemos concluir que ela não é uma forma bilinear.

Resposta

A função não é uma forma bilinear, pois não satisfaz as propriedades de linearidade em nenhum dos seus argumentos.

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a)
b)
c)
d)
Encontre a distância entre o plano e o ponto .
Expresse o vetor como combinação linear de e .
Escreva a matriz como combinação linear das matrizes