Quais das seguintes funções
, definidas sobre vetores
e
em
, são formas bilineares?
Justifique sua resposta.
Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão está perguntando se a função
, onde
e
em
, é uma forma bilinear. Para resolver isso, precisamos entender o que é uma forma bilinear e verificar se a função satisfaz os critérios necessários.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma forma bilinear. Uma forma bilinear é uma função que é linear em cada um dos seus dois argumentos separadamente. Isso significa que, se fixarmos um dos vetores, a função deve se comportar como uma função linear em relação ao outro vetor.
Passo 3
Vamos verificar a linearidade em relação ao primeiro argumento
. Para a função ser linear em
, ela deve satisfazer duas propriedades:
- Adicionar vetores:
- Multiplicar por escalar:
Vamos testar:
Como
, a função NÃO é linear em
.
Passo 4
Mesmo que já descobrimos que a função não é linear no primeiro argumento, por completude, vamos verificar a linearidade em relação ao segundo argumento
. As propriedades são semelhantes:
- Adicionar vetores:
- Multiplicar por escalar:
Testando:
Novamente,
, então a função NÃO é linear em
.
Passo 5
Como a função
não é linear nem em
nem em
, podemos concluir que ela não é uma forma bilinear.
Resposta
A função
não é uma forma bilinear, pois não satisfaz as propriedades de linearidade em nenhum dos seus argumentos.