Quais das seguintes funções
, definidas sobre vetores
e
em
, são formas bilineares?
Justifique sua resposta.
Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão está perguntando se a função
, onde
e
em
, é uma forma bilinear. Para resolver isso, precisamos entender o que é uma forma bilinear e verificar se a função satisfaz os critérios necessários.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma forma bilinear. Uma forma bilinear é uma função que é linear em cada um dos seus dois argumentos separadamente. Isso significa que, se fixarmos um dos vetores, a função deve se comportar como uma função linear em relação ao outro vetor.
Passo 3
Vamos verificar a linearidade em relação ao primeiro argumento
. Para a função ser linear em
, ela deve satisfazer duas propriedades:
- Adicionar vetores:
- Multiplicar por escalar:
Vamos testar:
Como
, a função NÃO é linear em
.
Passo 4
Mesmo que já descobrimos que a função não é linear no primeiro argumento, por completude, vamos verificar a linearidade em relação ao segundo argumento
. As propriedades são semelhantes:
- Adicionar vetores:
- Multiplicar por escalar:
Testando:
Novamente,
, então a função NÃO é linear em
.
Passo 5
Como a função
não é linear nem em
nem em
, podemos concluir que ela não é uma forma bilinear.
Resposta
A função
não é uma forma bilinear, pois não satisfaz as propriedades de linearidade em nenhum dos seus argumentos.
Exercícios relacionados
Verificar quais dos seguintes conjuntos são subespaços do
relativamente às operações usuais de adição e multiplicação por escalar.
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Encontre a distância entre o plano
e o ponto
.
Expresse o vetor
como combinação linear de
e
.
Escreva a matriz
como combinação linear das matrizes