Verificar quais dos seguintes conjuntos são subespaços do relativamente às operações usuais de adição e multiplicação por escalar.
a)
b)
c)
d)

Passo 1

Então, a gente tem uma questão de álgebra linear onde precisamos verificar quais dos conjuntos listados são subespaços do . Para resolver isso, vamos usar os conceitos de subespaço, que envolve verificar se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado em relação à adição e à multiplicação por escalar.

Passo 2

Vamos lembrar o que é um subespaço: um subconjunto de é um subespaço se:
  1. O vetor zero está em .
  2. Se você pegar dois vetores em e somar, o resultado também está em (fechado pela adição).
  3. Se você multiplicar um vetor de por qualquer escalar, o resultado também está em (fechado pela multiplicação por escalar).

Passo 3

Vamos analisar cada item:
a)
  • Vetor zero: Se , então . Então, .
  • Soma: Se temos e , a soma é , que também satisfaz .
  • Multiplicação por escalar: Se multiplicamos por um escalar , temos , que ainda satisfaz .
b)
  • Vetor zero: Quando , temos .
  • Soma: Se pegarmos e , a soma é . Para ser um subespaço, precisaríamos que , mas isso só é verdade se um dos for zero. Não é geral.
  • Conclusão: Não é fechado pela adição.
c)
  • Vetor zero: Se e , a equação é satisfeita, então .
  • Soma: Se temos e em , então e . A soma é e , então está fechado pela adição.
  • Multiplicação por escalar: Se multiplicamos por um escalar , temos . Então, , satisfazendo a condição.
  • Conclusão: É um subespaço.
d)
  • Vetor zero: Para o vetor zero , temos , que não é verdadeiro. Então, .
  • Conclusão: Não é um subespaço porque não contém o vetor zero.

Resposta

Dos conjuntos listados, a) e c) são subespaços de , enquanto b) e d) não são subespaços.

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