Verificar quais dos seguintes conjuntos são subespaços do
relativamente às operações usuais de adição e multiplicação por escalar.
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Então, a gente tem uma questão de álgebra linear onde precisamos verificar quais dos conjuntos listados são subespaços do
. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de subespaço, que envolve verificar se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado em relação à adição e à multiplicação por escalar.
Passo 2
Vamos lembrar o que é um subespaço: um subconjunto
de
é um subespaço se:
- O vetor zero
está em . - Se você pegar dois vetores em
e somar, o resultado também está em (fechado pela adição). - Se você multiplicar um vetor de
por qualquer escalar, o resultado também está em (fechado pela multiplicação por escalar).
Passo 3
Vamos analisar cada item:
a)
- Vetor zero: Se
, então . Então, . - Soma: Se temos
e , a soma é , que também satisfaz . - Multiplicação por escalar: Se multiplicamos
por um escalar , temos , que ainda satisfaz .
b)
- Vetor zero: Quando
, temos . - Soma: Se pegarmos
e , a soma é . Para ser um subespaço, precisaríamos que , mas isso só é verdade se um dos for zero. Não é geral. - Conclusão: Não é fechado pela adição.
c)
- Vetor zero: Se
e , a equação é satisfeita, então . - Soma: Se temos
e em , então e . A soma é e , então está fechado pela adição. - Multiplicação por escalar: Se multiplicamos
por um escalar , temos . Então, , satisfazendo a condição. - Conclusão: É um subespaço.
d)
- Vetor zero: Para o vetor zero
, temos , que não é verdadeiro. Então, . - Conclusão: Não é um subespaço porque não contém o vetor zero.
Resposta
Dos conjuntos listados, a) e c) são subespaços de
, enquanto b) e d) não são subespaços.
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e o ponto
.
Encontre a equação do plano
que passa pelos pontos
e
.
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, definidas sobre vetores
e
em
, são formas bilineares?
Justifique sua resposta.
Justifique sua resposta.
Expresse o vetor
como combinação linear de
e
.