Verificar quais dos seguintes conjuntos são subespaços do R^2 relativamente às operações usuais de adição e multiplicação por escalar.
a) S=(x, y) / y=-x
b) S=(x, x^2) / x in R
c) S=(x, y) / x+3 y=0
d) S=(x, y) / y=x+1

Passo 1

Então, a gente tem uma questão de álgebra linear onde precisamos verificar quais dos conjuntos listados são subespaços do R^2. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de subespaço, que envolve verificar se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado em relação à adição e à multiplicação por escalar.

Passo 2

Vamos lembrar o que é um subespaço: um subconjunto S de R^2 é um subespaço se:
  1. O vetor zero (0,0) está em S.
  2. Se você pegar dois vetores em S e somar, o resultado também está em S (fechado pela adição).
  3. Se você multiplicar um vetor de S por qualquer escalar, o resultado também está em S (fechado pela multiplicação por escalar).

Passo 3

Vamos analisar cada item:
a) S = (x, y) mid y = -x
  • Vetor zero: Se x = 0, então y = -0 = 0. Então, (0,0) in S.
  • Soma: Se temos (x1, -x1) e (x2, -x2), a soma é (x1 + x2, -x1 - x2) = (x1 + x2, -(x1 + x2)), que também satisfaz y = -x.
  • Multiplicação por escalar: Se multiplicamos (x, -x) por um escalar k, temos (kx, -kx), que ainda satisfaz y = -x.
b) S = (x, x^2) mid x in R
  • Vetor zero: Quando x = 0, temos (0, 0^2) = (0,0) in S.
  • Soma: Se pegarmos (x1, x1^2) e (x2, x2^2), a soma é (x1 + x2, x1^2 + x2^2). Para ser um subespaço, precisaríamos que x1^2 + x2^2 = (x1 + x2)^2, mas isso só é verdade se um dos x for zero. Não é geral.
  • Conclusão: Não é fechado pela adição.
c) S = (x, y) mid x + 3y = 0
  • Vetor zero: Se x = 0 e y = 0, a equação 0 + 3(0) = 0 é satisfeita, então (0,0) in S.
  • Soma: Se temos (x1, y1) e (x2, y2) em S, então x1 + 3y1 = 0 e x2 + 3y2 = 0. A soma é (x1 + x2, y1 + y2) e x1 + x2 + 3(y1 + y2) = (x1 + 3y1) + (x2 + 3y2) = 0 + 0 = 0, então está fechado pela adição.
  • Multiplicação por escalar: Se multiplicamos (x, y) por um escalar k, temos (kx, ky). Então, kx + 3(ky) = k(x + 3y) = k cdot 0 = 0, satisfazendo a condição.
  • Conclusão: É um subespaço.
d) S = (x, y) mid y = x + 1
  • Vetor zero: Para o vetor zero (0,0), temos 0 = 0 + 1, que não é verdadeiro. Então, (0,0) notin S.
  • Conclusão: Não é um subespaço porque não contém o vetor zero.

Resposta

Dos conjuntos listados, a) e c) são subespaços de R^2, enquanto b) e d) não são subespaços.

Exercícios relacionados