Encontre a equação do plano que passa pelos pontos e .
Passo 1
Beleza, a gente tem que encontrar a equação de um plano que passa pelos pontos , e . Vamos precisar utilizar conceitos de geometria analítica, especificamente como encontrar a equação de um plano a partir de três pontos. Para isso, vamos precisar calcular vetores no plano, o produto vetorial para achar o vetor normal e então montar a equação do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar dois vetores que estão no plano . Podemos usar os pontos , e para isso. Vamos calcular os vetores e .
O vetor é dado por:
E o vetor é:
Passo 3
Agora que temos os vetores e , vamos encontrar o vetor normal ao plano usando o produto vetorial desses dois vetores.
O produto vetorial é calculado da seguinte forma:
Calculando cada componente:
Então, o vetor normal é:
Passo 4
Com o vetor normal e sabendo que o plano passa pelo ponto , podemos usar a fórmula da equação do plano:
Onde são as componentes do vetor normal e é um ponto no plano.
Substituindo os valores:
Resposta
A equação do plano é:
Ou simplificando, dividindo todos os termos por 7: