Encontre a equação do plano pi que passa pelos pontos A=(0,0,2), B=(2,4,1) e C=(-2,3,3).

Passo 1

Beleza, a gente tem que encontrar a equação de um plano pi que passa pelos pontos A=(0,0,2), B=(2,4,1) e C=(-2,3,3). Vamos precisar utilizar conceitos de geometria analítica, especificamente como encontrar a equação de um plano a partir de três pontos. Para isso, vamos precisar calcular vetores no plano, o produto vetorial para achar o vetor normal e então montar a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar dois vetores que estão no plano pi. Podemos usar os pontos A, B e C para isso. Vamos calcular os vetores AB e AC.
O vetor AB é dado por:
AB = B - A = (2-0, 4-0, 1-2) = (2, 4, -1)
E o vetor AC é:
AC = C - A = (-2-0, 3-0, 3-2) = (-2, 3, 1)

Passo 3

Agora que temos os vetores AB = (2, 4, -1) e AC = (-2, 3, 1), vamos encontrar o vetor normal ao plano pi usando o produto vetorial desses dois vetores.
O produto vetorial n = AB times AC é calculado da seguinte forma:
n = i & j & k 2 & 4 & -1 -2 & 3 & 1 = i(4 cdot 1 - (-1) cdot 3) - j(2 cdot 1 - (-1) cdot (-2)) + k(2 cdot 3 - 4 cdot (-2))
Calculando cada componente:
n = i(4 + 3) - j(2 - 2) + k(6 + 8) = 7i - 0j + 14k
Então, o vetor normal é:
n = (7, 0, 14)

Passo 4

Com o vetor normal n = (7, 0, 14) e sabendo que o plano passa pelo ponto A=(0,0,2), podemos usar a fórmula da equação do plano:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
Onde (A, B, C) são as componentes do vetor normal e (x0, y0, z0) é um ponto no plano.
Substituindo os valores:
7(x - 0) + 0(y - 0) + 14(z - 2) = 0
7x + 0y + 14z - 28 = 0

Resposta

A equação do plano pi é:
7x + 14z - 28 = 0
Ou simplificando, dividindo todos os termos por 7:
x + 2z - 4 = 0

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