Verifique se as transformações abaixo são lineares:
(l)
dada por
(conhecida como inclusão de
em
);
(l)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa verificar se uma transformação, que chamaremos de
, é linear. A transformação dada é
definida por
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como testar se
satisfaz as propriedades necessárias para ser considerada linear.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
entre dois espaços vetoriais é linear se cumprir duas propriedades principais:
- Adição de vetores:
para todos os vetores e . - Multiplicação por escalar:
para todo escalar e vetor .
Vamos verificar se a transformação
satisfaz essas duas propriedades.
Passo 3
Primeiro, vamos testar a propriedade da adição. Vamos considerar dois vetores quaisquer em
, digamos
e
.
Calculando
:
Agora, calculando
:
Vemos que
, então a propriedade da adição é satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a propriedade da multiplicação por escalar. Seja
um escalar qualquer e
um vetor em
.
Calculando
:
Agora, calculando
:
Vemos que
, então a propriedade da multiplicação por escalar também é satisfeita.
Resposta
Como a transformação
cumpre as propriedades de adição de vetores e multiplicação por escalar, podemos concluir que
é uma transformação linear.