Verifique se as transformações abaixo são lineares:
(l) T: R^2 R^3 dada por T(x, y)=(x, y, 0) (conhecida como inclusão de R^2 em R^3 );

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa verificar se uma transformação, que chamaremos de , é linear. A transformação dada é definida por . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como testar se satisfaz as propriedades necessárias para ser considerada linear.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação entre dois espaços vetoriais é linear se cumprir duas propriedades principais:
  1. Adição de vetores: para todos os vetores e .
  2. Multiplicação por escalar: para todo escalar e vetor .
Vamos verificar se a transformação satisfaz essas duas propriedades.

Passo 3

Primeiro, vamos testar a propriedade da adição. Vamos considerar dois vetores quaisquer em u + v = (x1 + x2, y1 + y2) , digamos T(u + v) = (x1 + x2, y1 + y2, 0) e T(u) = (x1, y1, 0) .
Calculando T(v) = (x2, y2, 0) :
T(u) + T(v) = (x1 + x2, y1 + y2, 0 + 0) = (x1 + x2, y1 + y2, 0)
Agora, calculando :
Vemos que , então a propriedade da adição é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a propriedade da multiplicação por escalar. Seja cu = (cx, cy) um escalar qualquer e T(cu) = (cx, cy, 0) um vetor em T(u) = (x, y, 0) .
Calculando cT(u) = (c x, c y, c cdot 0) = (c x, c y, 0) :
Agora, calculando :
Vemos que , então a propriedade da multiplicação por escalar também é satisfeita.

Resposta

Como a transformação cumpre as propriedades de adição de vetores e multiplicação por escalar, podemos concluir que é uma transformação linear.

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