Encontre a distancia do Ponto P ao plano pi: P(3,-1,4) e pi: x+y=-z.
c) P(1,1,1) e pi:lx=2+2 h+3 t y=-1+h+t z=2-h

Passo 1

Vamos resolver o exercício de encontrar a distância do ponto pi: x = 2 + 2h + 3t y = -1 + h + t z = 2 - h ao plano definido pelas equações paramétricas:
Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula para calcular a distância de um ponto a um plano no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a forma geral da equação do plano r = 2 -1 2 + h 2 1 -1 + t 3 1 0 . As equações paramétricas nos dão uma maneira de expressar qualquer ponto do plano em termos de parâmetros 2 1 -1 e 3 1 0 .
Podemos reescrever as equações paramétricas como vetores:
Aqui, e são vetores diretores do plano.

Passo 3

Para encontrar a forma geral do plano, precisamos de um vetor normal ao plano. Podemos encontrar esse vetor normal fazendo o produto vetorial dos dois vetores diretores:
n = 2 1 -1 times 3 1 0 = (1)(0) - (-1)(1) (-1)(3) - (2)(0) (2)(1) - (1)(3) = 1 -3 -1
Então, o vetor normal ao plano é .

Passo 4

Com o vetor normal 1(x - 2) - 3(y + 1) - 1(z - 2) = 0 e um ponto do plano, por exemplo, x - 2 - 3y - 3 - z + 2 = 0 x - 3y - z - 3 = 0 , podemos escrever a equação geral do plano:
x - 3y - z - 3 = 0
Simplificando:
Portanto, a equação geral do plano é:

Passo 5

Agora, vamos utilizar a fórmula da distância de um ponto d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2 a um plano :
No nosso caso, , , , e .

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
d = |1(1) + (-3)(1) + (-1)(1) + (-3)|raiz1^2 + (-3)^2 + (-1)^2 = |1 - 3 - 1 - 3|raiz1 + 9 + 1 = |-6|raiz11 = 6raiz11
Podemos racionalizar o denominador:
d = 6raiz11 times raiz11raiz11 = 6raiz1111

Resposta

A distância do ponto ao plano é unidades.

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