Verifique se as seguintes aplicações são injetoras, sobrejetoras, bijetoras e transformações lineares:
(f)
, onde
.
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a aplicação
, definida por
, é injetora, sobrejetora, bijetora e se ela é uma transformação linear. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de injeção, sobrejeção, bijeção e transformações lineares, além de trabalhar com espaços de funções contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se
é injetora. Uma função é injetora se funções diferentes no domínio levam a imagens diferentes no contradomínio. Ou seja, se
implica que
.
Vamos supor que
. Isso significa que:
Se diferenciar ambos os lados em relação a
:
Portanto,
. Assim,
é injetora.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se para todo elemento no contradomínio, existe pelo menos um elemento no domínio que mapeia para ele.
Queremos saber se, para toda função
, existe uma função
tal que:
Isso implica que:
Mas para que
seja contínua,
precisa ser diferenciável com derivada contínua. Nem toda função contínua em
é diferenciável, então nem todo
pode ser obtido dessa forma. Portanto,
não é sobrejetora.
Passo 4
Já que
é injetora, mas não é sobrejetora, podemos concluir que
não é bijetora, porque bijeção exige que seja injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.
Passo 5
Por fim, vamos verificar se
é uma transformação linear. Uma transformação é linear se ela respeita a adição e a multiplicação por escalar, ou seja, se para todas as funções
e todo escalar
:
Vamos testar:
- Adição:
- Multiplicação por escalar:
Como ambas as propriedades são satisfeitas,
é uma transformação linear.
Resposta
A aplicação
é injetora e uma transformação linear, mas não é sobrejetora nem bijetora.