Verifique se as seguintes aplicações são injetoras, sobrejetoras, bijetoras e transformações lineares:
(f) , onde .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a aplicação , definida por , é injetora, sobrejetora, bijetora e se ela é uma transformação linear. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de injeção, sobrejeção, bijeção e transformações lineares, além de trabalhar com espaços de funções contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se é injetora. Uma função é injetora se funções diferentes no domínio levam a imagens diferentes no contradomínio. Ou seja, se implica que .
Vamos supor que . Isso significa que:
Se diferenciar ambos os lados em relação a :
Portanto, . Assim, é injetora.
Passo 3
Agora, vamos verificar se é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se para todo elemento no contradomínio, existe pelo menos um elemento no domínio que mapeia para ele.
Queremos saber se, para toda função , existe uma função tal que:
Isso implica que:
Mas para que seja contínua, precisa ser diferenciável com derivada contínua. Nem toda função contínua em é diferenciável, então nem todo pode ser obtido dessa forma. Portanto, não é sobrejetora.
Passo 4
Já que é injetora, mas não é sobrejetora, podemos concluir que não é bijetora, porque bijeção exige que seja injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.
Passo 5
Por fim, vamos verificar se é uma transformação linear. Uma transformação é linear se ela respeita a adição e a multiplicação por escalar, ou seja, se para todas as funções e todo escalar :
Vamos testar:
Adição:
Multiplicação por escalar:
Como ambas as propriedades são satisfeitas, é uma transformação linear.
Resposta
A aplicação é injetora e uma transformação linear, mas não é sobrejetora nem bijetora.