Verifique se as seguintes aplicações são injetoras, sobrejetoras, bijetoras e transformações lineares:
(f) F: C([a, b]) C([a, b]), onde F(f(t))=integrala^x f(t) d t, x in[a, b].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a aplicação , definida por , é injetora, sobrejetora, bijetora e se ela é uma transformação linear. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de injeção, sobrejeção, bijeção e transformações lineares, além de trabalhar com espaços de funções contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se integrala^x f(t) , dt = integrala^x g(t) , dt forall x in [a, b] é injetora. Uma função é injetora se funções diferentes no domínio levam a imagens diferentes no contradomínio. Ou seja, se f(x) = g(x) forall x in [a, b] implica que .
Vamos supor que . Isso significa que:
Se diferenciar ambos os lados em relação a :
Portanto, . Assim, é injetora.

Passo 3

Agora, vamos verificar se integrala^x f(t) , dt = h(x) forall x in [a, b] é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se para todo elemento no contradomínio, existe pelo menos um elemento no domínio que mapeia para ele.
Queremos saber se, para toda função f(x) = h'(x) , existe uma função tal que:
Isso implica que:
Mas para que seja contínua, precisa ser diferenciável com derivada contínua. Nem toda função contínua em é diferenciável, então nem todo pode ser obtido dessa forma. Portanto, não é sobrejetora.

Passo 4

Já que é injetora, mas não é sobrejetora, podemos concluir que não é bijetora, porque bijeção exige que seja injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.

Passo 5

Por fim, vamos verificar se F(f + g) = F(f) + F(g) é uma transformação linear. Uma transformação é linear se ela respeita a adição e a multiplicação por escalar, ou seja, se para todas as funções F(alpha f) = alpha F(f) e todo escalar F(f + g)(x) = integrala^x (f(t) + g(t)) , dt = integrala^x f(t) , dt + integrala^x g(t) , dt = F(f)(x) + F(g)(x) :
F(alpha f)(x) = integrala^x alpha f(t) , dt = alpha integrala^x f(t) , dt = alpha F(f)(x)
Vamos testar:
  1. Adição:
  1. Multiplicação por escalar:
Como ambas as propriedades são satisfeitas, é uma transformação linear.

Resposta

A aplicação é injetora e uma transformação linear, mas não é sobrejetora nem bijetora.

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