Seja Pn o conjunto dos polinômios reais de grau menor ou igual que n. Para cada um dos itens seguintes seja S o conjunto dos polinômios em Pk satisfazendo a condição dada. Determine se S é um subespaço de Pn. Se S for um subspaço calcule a dimensão de S.
© p^prime prime(0)=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear sobre subespaços de polinômios. A gente vai analisar se o conjunto , formado pelos polinômios de grau no máximo que satisfazem , é um subespaço de . Se for, também vamos descobrir qual é a dimensão desse subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Aqui, é a segunda derivada do polinômio . Então, estamos dizendo que a segunda derivada de avaliada em é igual a zero.

Passo 3

Para verificar se é um subespaço, precisamos checar três propriedades:
  1. Contém o vetor zero: O polinômio zero pertence a ?
  2. Fechado sob adição: Se e estão em , então também está em ?
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar, então também está em ?

Passo 4

1. Contém o vetor zero: O polinômio zero é . A segunda derivada de é , então . Portanto, o vetor zero está em .

Passo 5

2. Fechado sob adição: Suponha que e estão em , ou seja, e . Então, . Logo, também está em .

Passo 6

3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um número real, então . Assim, está em .

Passo 7

Como todas as três propriedades são satisfeitas, podemos concluir que é um subespaço de .

Passo 8

Agora, vamos encontrar a dimensão de p(x) = a0 + a1 x + a2 x^2 + dots + ak x^k . Para isso, precisamos determinar uma base para p''(x) = 2a2 + 6a3 x + dots + k(k-1)ak x^k-2 . Sabemos que um polinômio geral em p''(0) = 2a2 tem a forma:
Calculando a segunda derivada:
Avaliando em :
Para que , precisamos que .

Passo 9

Então, os polinômios em p(x) = a0 + a1 x + a3 x^3 + dots + ak x^k têm a forma:
Aqui, notamos que o coeficiente de é zero. Portanto, podemos escolher os coeficientes livremente. Isso nos dá coeficientes (já que o coeficiente é fixo em zero).

Passo 10

Assim, uma base para 1, x, x^3, dots, x^k pode ser formada por:
A quantidade de elementos nessa base é , portanto, a dimensão de é .

Resposta

O conjunto é um subespaço de e sua dimensão é .

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