Seja
o conjunto dos polinômios reais de grau menor ou igual que
. Para cada um dos itens seguintes seja
o conjunto dos polinômios em
satisfazendo a condição dada. Determine se
é um subespaço de
. Se
for um subspaço calcule a dimensão de
.
©
.
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear sobre subespaços de polinômios. A gente vai analisar se o conjunto
, formado pelos polinômios de grau no máximo
que satisfazem
, é um subespaço de
. Se for, também vamos descobrir qual é a dimensão desse subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Aqui,
é a segunda derivada do polinômio
. Então, estamos dizendo que a segunda derivada de
avaliada em
é igual a zero.
Passo 3
Para verificar se
é um subespaço, precisamos checar três propriedades:
- Contém o vetor zero: O polinômio zero pertence a
? - Fechado sob adição: Se
e estão em , então também está em ? - Fechado sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um escalar, então também está em ?
Passo 4
1. Contém o vetor zero: O polinômio zero é
. A segunda derivada de
é
, então
. Portanto, o vetor zero está em
.
Passo 5
2. Fechado sob adição: Suponha que
e
estão em
, ou seja,
e
. Então,
. Logo,
também está em
.
Passo 6
3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se
está em
e
é um número real, então
. Assim,
está em
.
Passo 7
Como todas as três propriedades são satisfeitas, podemos concluir que
é um subespaço de
.
Passo 8
Agora, vamos encontrar a dimensão de
. Para isso, precisamos determinar uma base para
. Sabemos que um polinômio geral em
tem a forma:
Calculando a segunda derivada:
Avaliando em
:
Para que
, precisamos que
.
Passo 9
Então, os polinômios em
têm a forma:
Aqui, notamos que o coeficiente de
é zero. Portanto, podemos escolher os coeficientes
livremente. Isso nos dá
coeficientes (já que o coeficiente
é fixo em zero).
Passo 10
Assim, uma base para
pode ser formada por:
A quantidade de elementos nessa base é
, portanto, a dimensão de
é
.
Resposta
O conjunto
é um subespaço de
e sua dimensão é
.