Seja uma aplicação. Mostre que
(a) Se F é uma transformação linear, então .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma aplicação e pede para a gente mostrar que, se é uma transformação linear, então . Aqui, estamos lidando com álgebra linear, especificamente com transformações lineares entre espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos usar as propriedades que definem uma transformação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear. Uma função é linear se, para todos os vetores em e para todo escalar , as seguintes propriedades são verdadeiras:
Aditividade:
Homogeneidade:
Essas duas propriedades são fundamentais para uma função ser considerada linear.
Passo 3
Agora, vamos focar no vetor zero em , que é denotado por . O vetor zero tem a propriedade de que, para qualquer vetor em , .
Passo 4
Vamos aplicar a transformação linear ao vetor zero . Ou seja, queremos encontrar .
Passo 5
Usando a propriedade de aditividade da transformação linear, temos:
Mas sabemos que , então podemos substituir:
Passo 6
Agora, vamos simplificar a equação. Subtraindo de ambos os lados, obtemos: