Seja
uma aplicação. Mostre que
(a) Se F é uma transformação linear, então
.
(a) Se F é uma transformação linear, então
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma aplicação
e pede para a gente mostrar que, se
é uma transformação linear, então
. Aqui, estamos lidando com álgebra linear, especificamente com transformações lineares entre espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos usar as propriedades que definem uma transformação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear. Uma função
é linear se, para todos os vetores
em
e para todo escalar
, as seguintes propriedades são verdadeiras:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Essas duas propriedades são fundamentais para uma função ser considerada linear.
Passo 3
Agora, vamos focar no vetor zero em
, que é denotado por
. O vetor zero tem a propriedade de que, para qualquer vetor
em
,
.
Passo 4
Vamos aplicar a transformação linear
ao vetor zero
. Ou seja, queremos encontrar
.
Passo 5
Usando a propriedade de aditividade da transformação linear, temos:
Mas sabemos que
, então podemos substituir:
Passo 6
Agora, vamos simplificar a equação. Subtraindo
de ambos os lados, obtemos:
Resposta
Portanto, mostramos que
.