Seja F: V W uma aplicação. Mostre que
(a) Se F é uma transformação linear, então F(0)=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma aplicação e pede para a gente mostrar que, se é uma transformação linear, então . Aqui, estamos lidando com álgebra linear, especificamente com transformações lineares entre espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos usar as propriedades que definem uma transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear. Uma função é linear se, para todos os vetores em e para todo escalar , as seguintes propriedades são verdadeiras:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Essas duas propriedades são fundamentais para uma função ser considerada linear.

Passo 3

Agora, vamos focar no vetor zero em , que é denotado por . O vetor zero tem a propriedade de que, para qualquer vetor em , .

Passo 4

Vamos aplicar a transformação linear ao vetor zero . Ou seja, queremos encontrar .

Passo 5

Usando a propriedade de aditividade da transformação linear, temos:
F(u + 0) = F(u) + F(0)
Mas sabemos que F(u) = F(u) + F(0) , então podemos substituir:

Passo 6

Agora, vamos simplificar a equação. Subtraindo F(u) - F(u) = F(0) de ambos os lados, obtemos:
0 = F(0)

Resposta

Portanto, mostramos que .

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