Seja uma aplicação. Mostre que
(a) Se F é uma transformação linear, então .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma aplicação e pede para a gente mostrar que, se é uma transformação linear, então . Aqui, estamos lidando com álgebra linear, especificamente com transformações lineares entre espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos usar as propriedades que definem uma transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear. Uma função é linear se, para todos os vetores em e para todo escalar , as seguintes propriedades são verdadeiras:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Essas duas propriedades são fundamentais para uma função ser considerada linear.

Passo 3

Agora, vamos focar no vetor zero em , que é denotado por . O vetor zero tem a propriedade de que, para qualquer vetor em , .

Passo 4

Vamos aplicar a transformação linear ao vetor zero . Ou seja, queremos encontrar .

Passo 5

Usando a propriedade de aditividade da transformação linear, temos:
Mas sabemos que , então podemos substituir:

Passo 6

Agora, vamos simplificar a equação. Subtraindo de ambos os lados, obtemos:

Resposta

Portanto, mostramos que .

Exercícios relacionados

Verificar se a reta está contida no plano : a)
b) e
Seja uma transformação linear. Mostre que se e somente se .
Verifique se as seguintes aplicações são injetoras, sobrejetoras, bijetoras e transformações lineares:
(e) , onde .
Encontre a distancia entre o ponto e a reta dada: e .
c) e : eixo .