Verifique se as seguintes aplicações são injetoras, sobrejetoras, bijetoras e transformações lineares:
(e) F: R^2 C([0,1]), onde F(x, y)=x e^t+y e^2 t.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função , onde . O tópico aqui é Transformações Lineares e queremos verificar se essa função é injetora, sobrejetora, bijetora e se é realmente uma transformação linear. Para resolver, vamos precisar saber o que significam esses termos e como aplicá-los às funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear. Uma função entre dois espaços vetoriais é linear se satisfaz duas propriedades:
  1. Aditividade: para todos .
  2. Homogeneidade: para todo escalar e todo .
Vamos verificar se satisfaz essas propriedades.

Passo 3

Vamos testar a aditividade. Seja F((x1, y1) + (x2, y2)) = F(x1 + x2, y1 + y2) = (x1 + x2)e^t + (y1 + y2)e^2t e F(x1, y1) + F(x2, y2) = x1 e^t + y1 e^2t + x2 e^t + y2 e^2t = (x1 + x2)e^t + (y1 + y2)e^2t dois vetores em :
Por outro lado:
Como os dois resultados são iguais, a função satisfaz a propriedade de aditividade.

Passo 4

Agora, vamos verificar a homogeneidade. Seja F(c(x, y)) = F(cx, cy) = (cx)e^t + (cy)e^2t = c(x e^t + y e^2t) = cF(x, y) um escalar e :
Portanto, a função também satisfaz a propriedade de homogeneidade.

Passo 5

Como satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que é uma transformação linear.

Passo 6

Agora, vamos verificar se x e^t + y e^2t = 0 para todo t in [0,1] é injetora. Uma função é injetora se x = 0 e y = 0 implica que . No nosso caso, isso significa que se:
devemos ter e .
Para que seja válido para todo , os coeficientes de e devem ser zero:
Logo, é injetora.

Passo 7

Em seguida, vamos verificar se é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se, para todo elemento em , existe pelo menos um par em tal que .
No nosso caso, . A questão é se conseguimos expressar qualquer função contínua como uma combinação linear de e .
No entanto, as combinações lineares de e formam um espaço de dimensão 2, enquanto é infinito-dimensional. Portanto, nem toda função contínua pode ser expressa dessa forma, ou seja, não é sobrejetora.

Passo 8

Por fim, para concluir se é bijetora, precisamos que seja tanto injetora quanto sobrejetora. Já vimos que é injetora, mas não é sobrejetora. Portanto, não é bijetora.

Resposta

A função é uma transformação linear e injetora, mas não é sobrejetora nem bijetora.

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