Verifique se as seguintes aplicações são injetoras, sobrejetoras, bijetoras e transformações lineares:
(e) , onde .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função , onde . O tópico aqui é Transformações Lineares e queremos verificar se essa função é injetora, sobrejetora, bijetora e se é realmente uma transformação linear. Para resolver, vamos precisar saber o que significam esses termos e como aplicá-los às funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear. Uma função entre dois espaços vetoriais é linear se satisfaz duas propriedades:
  1. Aditividade: para todos .
  2. Homogeneidade: para todo escalar e todo .
Vamos verificar se satisfaz essas propriedades.

Passo 3

Vamos testar a aditividade. Seja e dois vetores em :
Por outro lado:
Como os dois resultados são iguais, a função satisfaz a propriedade de aditividade.

Passo 4

Agora, vamos verificar a homogeneidade. Seja um escalar e :
Portanto, a função também satisfaz a propriedade de homogeneidade.

Passo 5

Como satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que é uma transformação linear.

Passo 6

Agora, vamos verificar se é injetora. Uma função é injetora se implica que . No nosso caso, isso significa que se:
devemos ter e .
Para que seja válido para todo , os coeficientes de e devem ser zero:
Logo, é injetora.

Passo 7

Em seguida, vamos verificar se é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se, para todo elemento em , existe pelo menos um par em tal que .
No nosso caso, . A questão é se conseguimos expressar qualquer função contínua como uma combinação linear de e .
No entanto, as combinações lineares de e formam um espaço de dimensão 2, enquanto é infinito-dimensional. Portanto, nem toda função contínua pode ser expressa dessa forma, ou seja, não é sobrejetora.

Passo 8

Por fim, para concluir se é bijetora, precisamos que seja tanto injetora quanto sobrejetora. Já vimos que é injetora, mas não é sobrejetora. Portanto, não é bijetora.

Resposta

A função é uma transformação linear e injetora, mas não é sobrejetora nem bijetora.

Exercícios relacionados

Seja uma aplicação. Mostre que
(a) Se F é uma transformação linear, então .
Verificar se a reta está contida no plano : a)
b) e
Encontre a distancia entre o ponto e a reta dada: e .
c) e : eixo .
Mostre que os seguintes conjuntos a seguir não são espaços vetoriais.
© O conjunto dos vetores que satisfaz a equação linear . Que objeto geométrico é esse? Qual é a diferença com a questão 1 . (h)?