Verifique se as seguintes aplicações são injetoras, sobrejetoras, bijetoras e transformações lineares:
(e)
, onde
.
(e)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função
, onde
. O tópico aqui é Transformações Lineares e queremos verificar se essa função é injetora, sobrejetora, bijetora e se é realmente uma transformação linear. Para resolver, vamos precisar saber o que significam esses termos e como aplicá-los às funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear. Uma função
entre dois espaços vetoriais é linear se satisfaz duas propriedades:
- Aditividade:
para todos . - Homogeneidade:
para todo escalar e todo .
Vamos verificar se
satisfaz essas propriedades.
Passo 3
Vamos testar a aditividade. Seja
e
dois vetores em
:
Por outro lado:
Como os dois resultados são iguais, a função satisfaz a propriedade de aditividade.
Passo 4
Agora, vamos verificar a homogeneidade. Seja
um escalar e
:
Portanto, a função também satisfaz a propriedade de homogeneidade.
Passo 5
Como
satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que
é uma transformação linear.
Passo 6
Agora, vamos verificar se
é injetora. Uma função é injetora se
implica que
. No nosso caso, isso significa que se:
devemos ter
e
.
Para que
seja válido para todo
, os coeficientes de
e
devem ser zero:
Logo,
é injetora.
Passo 7
Em seguida, vamos verificar se
é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se, para todo elemento
em
, existe pelo menos um par
em
tal que
.
No nosso caso,
. A questão é se conseguimos expressar qualquer função contínua
como uma combinação linear de
e
.
No entanto, as combinações lineares de
e
formam um espaço de dimensão 2, enquanto
é infinito-dimensional. Portanto, nem toda função contínua pode ser expressa dessa forma, ou seja,
não é sobrejetora.
Passo 8
Por fim, para concluir se
é bijetora, precisamos que seja tanto injetora quanto sobrejetora. Já vimos que
é injetora, mas não é sobrejetora. Portanto,
não é bijetora.
Resposta
A função
é uma transformação linear e injetora, mas não é sobrejetora nem bijetora.