Verifique se as seguintes aplicações são injetoras, sobrejetoras, bijetoras e transformações lineares:
(e) , onde .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função , onde . O tópico aqui é Transformações Lineares e queremos verificar se essa função é injetora, sobrejetora, bijetora e se é realmente uma transformação linear. Para resolver, vamos precisar saber o que significam esses termos e como aplicá-los às funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear. Uma função entre dois espaços vetoriais é linear se satisfaz duas propriedades:
Aditividade: para todos .
Homogeneidade: para todo escalar e todo .
Vamos verificar se satisfaz essas propriedades.
Passo 3
Vamos testar a aditividade. Seja e dois vetores em :
Por outro lado:
Como os dois resultados são iguais, a função satisfaz a propriedade de aditividade.
Passo 4
Agora, vamos verificar a homogeneidade. Seja um escalar e :
Portanto, a função também satisfaz a propriedade de homogeneidade.
Passo 5
Como satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que é uma transformação linear.
Passo 6
Agora, vamos verificar se é injetora. Uma função é injetora se implica que . No nosso caso, isso significa que se:
devemos ter e .
Para que seja válido para todo , os coeficientes de e devem ser zero:
Logo, é injetora.
Passo 7
Em seguida, vamos verificar se é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se, para todo elemento em , existe pelo menos um par em tal que .
No nosso caso, . A questão é se conseguimos expressar qualquer função contínua como uma combinação linear de e .
No entanto, as combinações lineares de e formam um espaço de dimensão 2, enquanto é infinito-dimensional. Portanto, nem toda função contínua pode ser expressa dessa forma, ou seja, não é sobrejetora.
Passo 8
Por fim, para concluir se é bijetora, precisamos que seja tanto injetora quanto sobrejetora. Já vimos que é injetora, mas não é sobrejetora. Portanto, não é bijetora.
Resposta
A função é uma transformação linear e injetora, mas não é sobrejetora nem bijetora.