Nos exercícios 3 a 6, determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região
delimitada pelos gráficos das equações dadas.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é gerado quando a região limitada pelas curvas
,
e
é girada em torno do eixo
. Esse tipo de problema faz parte do estudo de sólidos de revolução na matéria de Cálculo Integral. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que nos ajuda a calcular volumes girando áreas ao redor de um eixo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender bem a região que estamos girando. A curva
é uma parábola que se abre para a direita. A reta
é o eixo
, e
é uma linha vertical. Então, nossa região
está limitada por essas três curvas. Para usar o método dos discos, precisamos identificar a função que descreve o raio dos discos em cada ponto
.
Passo 3
Agora, vamos expressar
em função de
a partir da equação da parábola. A partir de
, temos:
Esse
será o raio do disco em cada posição
. O método dos discos envolve integrar o raio ao quadrado, multiplicado por
, ao longo do intervalo de
que vai de 0 a 2.
Passo 4
Vamos montar a integral para calcular o volume. A fórmula do método dos discos é:
Aqui,
,
e
. Substituindo na fórmula, temos:
Simplificando
para
, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Encontre o rotacional dos campos vetoriais:
;
Encontre a div
para o campo vetorial dado:
Encontre o rot
para o campo vetorial dado:
Nos exercícios 8 a 11, determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos
, da região
delimitada pelos gráficos das equações dadas.
e
.