Nos exercícios 3 a 6, determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo x, da região R delimitada pelos gráficos das equações dadas.
y^2 = 2x, y = 0 e x = 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é gerado quando a região limitada pelas curvas , e é girada em torno do eixo . Esse tipo de problema faz parte do estudo de sólidos de revolução na matéria de Cálculo Integral. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que nos ajuda a calcular volumes girando áreas ao redor de um eixo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender bem a região que estamos girando. A curva é uma parábola que se abre para a direita. A reta é o eixo , e é uma linha vertical. Então, nossa região está limitada por essas três curvas. Para usar o método dos discos, precisamos identificar a função que descreve o raio dos discos em cada ponto .

Passo 3

Agora, vamos expressar em função de a partir da equação da parábola. A partir de , temos:
Esse será o raio do disco em cada posição . O método dos discos envolve integrar o raio ao quadrado, multiplicado por , ao longo do intervalo de que vai de 0 a 2.

Passo 4

Vamos montar a integral para calcular o volume. A fórmula do método dos discos é:
Aqui, , e . Substituindo na fórmula, temos:
Simplificando para , a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral:

Resposta

O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.

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x = y^2 + 1 , x = 0 , y = -2 e y = 2.