Encontre
e o
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente encontrar o divergente (
) e o rotacional (
) do campo vetorial dado:
Para isso, vamos precisar lembrar das fórmulas do divergente e do rotacional e aplicar derivadas parciais nos componentes do vetor
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o divergente de
. O divergente de um campo vetorial
é dado por:
Isso basicamente mede como o campo está “saindo” ou “entrando” em cada ponto do espaço.
Passo 3
Vamos calcular cada derivada parcial separadamente:
- Para
:
Porque
não depende de
.
- Para
:
Assim como antes,
não depende de
.
- Para
:
Somando tudo:
Passo 4
Agora, vamos calcular o rotacional (ou rot) de
. O rotacional de um campo vetorial
é dado por:
O rotacional nos mostra a tendência do campo vetorial de “girar” em torno de um ponto.
Passo 5
Vamos calcular cada componente do rotacional:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Então, o rotacional fica:
Resposta
O divergente de
é
e o rotacional de
é:
Exercícios relacionados
Determine a função derivada das funções a seguir:
O ensaio de compactação apresenta gráfico com a forma de uma parábola, sendo que o eixo das abscissas é a umidade gravimétrica e as ordenadas as massas específicas secas. Se a parábola pudesse ser descrita pela equação
qual seria o valor da umidade ótima (que corresponderá ao maior valor de massa específica seca). (1 ponto)
Encontre
e o
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Sejam
e
. Encontre
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