Encontre e o .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente encontrar o divergente ( ) e o rotacional ( ) do campo vetorial dado:
Para isso, vamos precisar lembrar das fórmulas do divergente e do rotacional e aplicar derivadas parciais nos componentes do vetor .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o divergente de . O divergente de um campo vetorial é dado por:
Isso basicamente mede como o campo está “saindo” ou “entrando” em cada ponto do espaço.

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial separadamente:
  1. Para :
Porque não depende de .
  1. Para :
Assim como antes, não depende de .
  1. Para :
também não depende de .
Somando tudo:

Passo 4

Agora, vamos calcular o rotacional (ou rot) de . O rotacional de um campo vetorial é dado por:
O rotacional nos mostra a tendência do campo vetorial de “girar” em torno de um ponto.

Passo 5

Vamos calcular cada componente do rotacional:
  1. Componente :
  1. Componente :
  1. Componente :
Então, o rotacional fica:

Resposta

O divergente de é e o rotacional de é:

Exercícios relacionados

Determine a função derivada das funções a seguir:
O ensaio de compactação apresenta gráfico com a forma de uma parábola, sendo que o eixo das abscissas é a umidade gravimétrica e as ordenadas as massas específicas secas. Se a parábola pudesse ser descrita pela equação qual seria o valor da umidade ótima (que corresponderá ao maior valor de massa específica seca). (1 ponto)
Encontre e o .
Sejam e . Encontre .