Encontre o div F e o rot F.
F(x, y, z) = 7 y^3 z^2 i - 8 x^2 z^5 j - 3 x y^4 k

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente encontrar o divergente ( div F) e o rotacional ( rot F) do campo vetorial dado:
Para isso, vamos precisar lembrar das fórmulas do divergente e do rotacional e aplicar derivadas parciais nos componentes do vetor F.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o divergente de F. O divergente de um campo vetorial é dado por:
Isso basicamente mede como o campo está “saindo” ou “entrando” em cada ponto do espaço.

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial separadamente:
  1. Para :
Porque não depende de x.
  1. Para :
Assim como antes, não depende de y.
  1. Para :
também não depende de z.
Somando tudo:

Passo 4

Agora, vamos calcular o rotacional (ou rot) de F. O rotacional de um campo vetorial é dado por:
O rotacional nos mostra a tendência do campo vetorial de “girar” em torno de um ponto.

Passo 5

Vamos calcular cada componente do rotacional:
  1. Componente i:
  1. Componente vec(j):
  1. Componente k:
Então, o rotacional fica:

Resposta

O divergente de F é 0 e o rotacional de F é:

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