Fixe um número real
e considere a série
. Para quais valores de
esta série é convergente? (Sugestão: note que
.)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para descobrir para quais valores de
a série
é convergente. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e propriedades de logaritmos e exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Sabemos que
pode ser reescrito usando a base exponencial
:
Então, a nossa série fica:
Passo 3
Agora, reconhecemos que essa série é uma série p, onde a forma geral é
. Sabemos que uma série p converge se e somente se
.
Passo 4
Comparando com a nossa série, temos que
. Para que a série converja, precisamos que:
Passo 5
Para encontrar os valores de
que satisfazem essa inequação, resolvemos para
:
Resposta
A série
é convergente para todo número real
tal que
.
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