Fixe um número real a>0 e considere a série sumn=1^infty 1a^ln (n). Para quais valores de a esta série é convergente? (Sugestão: note que a^ln n=e^(ln a)(ln n)=n^ln a.)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para descobrir para quais valores de a série é convergente. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e propriedades de logaritmos e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão a^ln(n) = e^ln(a) cdot ln(n) = n^ln(a) . Sabemos que sumn=1^infty 1n^ln(a) pode ser reescrito usando a base exponencial :
Então, a nossa série fica:

Passo 3

Agora, reconhecemos que essa série é uma série p, onde a forma geral é . Sabemos que uma série p converge se e somente se .

Passo 4

Comparando com a nossa série, temos que ln(a) > 1 . Para que a série converja, precisamos que:

Passo 5

Para encontrar os valores de ln(a) > 1 Rightarrow a > e^1 Rightarrow a > e que satisfazem essa inequação, resolvemos para :

Resposta

A série é convergente para todo número real tal que .

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