Encontre dois inteiros positivos tais que a soma do primeiro número com quatro vezes o segundo número seja 1000, e o produto dos números seja o maior possível.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar dois números inteiros positivos onde a soma do primeiro número com quatro vezes o segundo dá 1000. Além disso, queremos que o produto desses dois números seja o maior possível. Isso envolve um pouco de álgebra e otimização.
Passo 2
Vamos chamar os dois números de
e
. Segundo o enunciado, temos a relação:
Aqui, estamos usando uma equação linear para relacionar os dois números.
Passo 3
Nosso objetivo é maximizar o produto
desses números:
Mas como temos a relação
, podemos expressar
em termos de
:
Passo 4
Substituindo
na expressão do produto:
Agora, temos uma função quadrática em
. Sabemos que o valor máximo dessa função ocorre no vértice da parábola.
Passo 5
Para encontrar o valor de
que maximiza
, usamos a fórmula do vértice para funções quadráticas:
Aqui,
e
, então:
Agora, substituímos
na equação
:
Resposta
Os dois números são
e
, com um produto máximo de
.
Exercícios relacionados
O gás de um balão esférico escapa à razão de
. Mostre que a taxa de variação da superfície
do balão, em relação ao tempo, é inversamente proporcional ao raio.
Obs.: O volume de uma esfera de raio r é dado por , e sua superfície tem área
.
Obs.: O volume de uma esfera de raio r é dado por
(05 pontos cada item) Calcule as derivadas das seguintes funções: