Encontre dois inteiros positivos tais que a soma do primeiro número com quatro vezes o segundo número seja 1000, e o produto dos números seja o maior possível.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar dois números inteiros positivos onde a soma do primeiro número com quatro vezes o segundo dá 1000. Além disso, queremos que o produto desses dois números seja o maior possível. Isso envolve um pouco de álgebra e otimização.

Passo 2

Vamos chamar os dois números de e . Segundo o enunciado, temos a relação:
Aqui, estamos usando uma equação linear para relacionar os dois números.

Passo 3

Nosso objetivo é maximizar o produto desses números:
Mas como temos a relação , podemos expressar em termos de :

Passo 4

Substituindo na expressão do produto:
Agora, temos uma função quadrática em . Sabemos que o valor máximo dessa função ocorre no vértice da parábola.

Passo 5

Para encontrar o valor de que maximiza , usamos a fórmula do vértice para funções quadráticas:
Aqui, e , então:
Agora, substituímos na equação :

Resposta

Os dois números são e , com um produto máximo de .

Exercícios relacionados

O gás de um balão esférico escapa à razão de . Mostre que a taxa de variação da superfície do balão, em relação ao tempo, é inversamente proporcional ao raio.
Obs.: O volume de uma esfera de raio r é dado por , e sua superfície tem área .
(05 pontos cada item) Calcule as derivadas das seguintes funções: