O gás de um balão esférico escapa à razão de
. Mostre que a taxa de variação da superfície
do balão, em relação ao tempo, é inversamente proporcional ao raio.
Obs.: O volume de uma esfera de raio r é dado por
, e sua superfície tem área
.
Obs.: O volume de uma esfera de raio r é dado por
Passo 1
Então, vamos lá! Temos um balão esférico que está perdendo gás a uma certa taxa, e queremos descobrir como a área da superfície desse balão está mudando com o tempo. A matéria envolvida aqui é o cálculo diferencial, especificamente as taxas de variação relacionadas ao volume e à superfície de uma esfera. Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas que relacionam o volume e a superfície de uma esfera com o seu raio.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as fórmulas que nos dão o volume
e a superfície
de uma esfera em função do raio
:
Essas fórmulas são fundamentais para relacionar o tamanho do balão com o volume de gás que está escapando.
Passo 3
Sabemos que o gás está escapando a uma taxa de
. O sinal negativo indica que o volume está diminuindo. Nosso objetivo é encontrar a taxa de variação da superfície
em relação ao tempo e mostrar que ela é inversamente proporcional ao raio
.
Passo 4
Vamos começar derivando a fórmula do volume em relação ao tempo para encontrar como o raio muda com o tempo. Derivando
em relação ao tempo, temos:
Aqui, usamos a regra da cadeia, onde derivamos
em relação a
e depois multiplicamos por
.
Passo 5
Agora, podemos isolar
na equação acima:
Substituindo
, temos:
Passo 6
Agora, vamos derivar a fórmula da superfície em relação ao tempo para encontrar
. Derivando
em relação ao tempo:
Substituindo
da etapa anterior:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Aqui, as
cancelam, e
, enquanto
no numerador e
no denominador resultam em
.
Resposta
A taxa de variação da superfície
do balão em relação ao tempo é inversamente proporcional ao raio
, ou seja:
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