O gás de um balão esférico escapa à razão de . Mostre que a taxa de variação da superfície do balão, em relação ao tempo, é inversamente proporcional ao raio.
Obs.: O volume de uma esfera de raio r é dado por , e sua superfície tem área .

Passo 1

Então, vamos lá! Temos um balão esférico que está perdendo gás a uma certa taxa, e queremos descobrir como a área da superfície desse balão está mudando com o tempo. A matéria envolvida aqui é o cálculo diferencial, especificamente as taxas de variação relacionadas ao volume e à superfície de uma esfera. Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas que relacionam o volume e a superfície de uma esfera com o seu raio.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as fórmulas que nos dão o volume e a superfície de uma esfera em função do raio :
Essas fórmulas são fundamentais para relacionar o tamanho do balão com o volume de gás que está escapando.

Passo 3

Sabemos que o gás está escapando a uma taxa de . O sinal negativo indica que o volume está diminuindo. Nosso objetivo é encontrar a taxa de variação da superfície em relação ao tempo e mostrar que ela é inversamente proporcional ao raio .

Passo 4

Vamos começar derivando a fórmula do volume em relação ao tempo para encontrar como o raio muda com o tempo. Derivando em relação ao tempo, temos:
Aqui, usamos a regra da cadeia, onde derivamos em relação a e depois multiplicamos por .

Passo 5

Agora, podemos isolar na equação acima:
Substituindo , temos:

Passo 6

Agora, vamos derivar a fórmula da superfície em relação ao tempo para encontrar . Derivando em relação ao tempo:
Substituindo da etapa anterior:

Passo 7

Simplificando a expressão:
Aqui, as cancelam, e , enquanto no numerador e no denominador resultam em .

Resposta

A taxa de variação da superfície do balão em relação ao tempo é inversamente proporcional ao raio , ou seja:

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