Encontre dois vetores unitários que são normais a superfície no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar dois vetores unitários que são normais à superfície definida por no ponto . Isso está relacionado ao estudo de superfícies e vetores normais na matéria de Cálculo Vetorial. Para resolver, vamos precisar usar o conceito de gradiente de uma função que define a superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da superfície de uma forma que possamos aplicar a teoria do gradiente. Vamos mover tudo para um lado da igualdade para ter:
Aqui, é uma função que define a superfície.

Passo 3

O próximo passo é encontrar o vetor gradiente de , que é representado por . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento de e é normal à superfície. As componentes do gradiente são as derivadas parciais de em relação a , e :

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais:
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :

Passo 5

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
  1. Primeiro, calculamos no ponto :
  1. Substituindo esse valor nas derivadas:

Passo 6

Assim, o vetor gradiente no ponto é:

Passo 7

Para encontrar os vetores normais unitários, precisamos normalizar o vetor gradiente. Isso significa dividir o vetor pelo seu módulo (comprimento). Primeiro, calculamos o módulo de :

Passo 8

Agora, dividimos cada componente do vetor gradiente pelo seu módulo para obter os vetores unitários:
E o segundo vetor normal unitário é simplesmente o negativo do primeiro:

Resposta

Os dois vetores unitários normais à superfície no ponto são:
e

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