Encontre dois vetores unitários que são normais a superfície
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar dois vetores unitários que são normais à superfície definida por
no ponto
. Isso está relacionado ao estudo de superfícies e vetores normais na matéria de Cálculo Vetorial. Para resolver, vamos precisar usar o conceito de gradiente de uma função que define a superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da superfície de uma forma que possamos aplicar a teoria do gradiente. Vamos mover tudo para um lado da igualdade para ter:
Aqui,
é uma função que define a superfície.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o vetor gradiente de
, que é representado por
. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento de
e é normal à superfície. As componentes do gradiente são as derivadas parciais de
em relação a
,
e
:
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
- Primeiro, calculamos
no ponto :
- Substituindo esse valor nas derivadas:
Passo 6
Assim, o vetor gradiente no ponto
é:
Passo 7
Para encontrar os vetores normais unitários, precisamos normalizar o vetor gradiente. Isso significa dividir o vetor pelo seu módulo (comprimento). Primeiro, calculamos o módulo de
:
Passo 8
Agora, dividimos cada componente do vetor gradiente pelo seu módulo para obter os vetores unitários:
E o segundo vetor normal unitário é simplesmente o negativo do primeiro:
Resposta
Os dois vetores unitários normais à superfície no ponto
são:
e
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.
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.
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passa pela origem.
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, nos quais a reta normal é paralela à reta que passa por
e
.