Mostre que toda reta que é normal à esfera passa pela origem.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. A gente tem uma esfera definida pela equação . A pergunta é para mostrar que toda reta que é normal a essa esfera passa pela origem (0, 0, 0).
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma reta normal a uma superfície e como encontrar a equação dessa reta. Também vamos utilizar conceitos de geometria analítica, como vetores normais e equações paramétricas de retas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma reta normal a uma superfície. Em qualquer ponto de uma superfície, o vetor normal é perpendicular à superfície naquele ponto. Para uma esfera centrada na origem, o vetor normal em qualquer ponto na superfície é simplesmente o vetor posição desse ponto.
Então, se temos um ponto na esfera , o vetor normal nesse ponto é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a equação da reta normal à esfera no ponto . A equação paramétrica de uma reta que passa por um ponto e tem direção dada pelo vetor é:
Onde é um parâmetro real.

Passo 4

Vamos simplificar a equação paramétrica da reta:
Agora, vamos verificar se essa reta passa pela origem. Para isso, vamos ver se existe algum valor de que faça , e .
Igualando as equações a zero:
Como está na esfera , sabemos que não são todos zero ao mesmo tempo. Portanto, a única solução para as equações acima é , ou seja, .

Passo 5

Substituindo nas equações paramétricas da reta:
Isso mostra que quando , a reta passa pela origem .

Resposta

Todas as retas normais à esfera passam pela origem.

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Encontre uma equação para o plano tangente e equações paramétricas para a reta normal à superfície no ponto .
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