Encontre uma equação para o plano tangente e equações paramétricas para a reta normal à superfície no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente e as equações paramétricas da reta normal à superfície definida por
no ponto
. Para isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e vetores normais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função
em relação a
e
. Essas derivadas nos ajudam a determinar o vetor normal à superfície no ponto
.
A derivada parcial em relação a
é:
A derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Para
em
:
Para
em
:
Passo 4
O vetor normal à superfície no ponto
é dado por:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente em um ponto
é:
Substituindo os valores que temos:
Então, a equação do plano tangente é:
Passo 6
Para encontrar as equações paramétricas da reta normal, usamos o vetor normal
e o ponto
.
As equações paramétricas são:
Simplificando, temos:
Resposta
A equação do plano tangente é
e as equações paramétricas da reta normal são: