Encontre uma equação para o plano tangente e equações paramétricas para a reta normal à superfície no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente e as equações paramétricas da reta normal à superfície definida por no ponto . Para isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e vetores normais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . Essas derivadas nos ajudam a determinar o vetor normal à superfície no ponto .
A derivada parcial em relação a é:
A derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Para em :
Para em :

Passo 4

O vetor normal à superfície no ponto é dado por:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente em um ponto é:
Substituindo os valores que temos:
Então, a equação do plano tangente é:

Passo 6

Para encontrar as equações paramétricas da reta normal, usamos o vetor normal e o ponto .
As equações paramétricas são:
Simplificando, temos:

Resposta

A equação do plano tangente é e as equações paramétricas da reta normal são:

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Encontre dois vetores unitários que são normais a superfície no ponto .
Mostre que toda reta que é normal à esfera passa pela origem.