Encontre uma equação para o plano tangente e equações paramétricas para a reta normal à superfície no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente e as equações paramétricas da reta normal à superfície definida por no ponto . Para isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e vetores normais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . Essas derivadas nos ajudam a determinar o vetor normal à superfície no ponto .
A derivada parcial em relação a é:
A derivada parcial em relação a é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Para em :
Para em :
Passo 4
O vetor normal à superfície no ponto é dado por:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente em um ponto é:
Substituindo os valores que temos:
Então, a equação do plano tangente é:
Passo 6
Para encontrar as equações paramétricas da reta normal, usamos o vetor normal e o ponto .
As equações paramétricas são:
Simplificando, temos:
Resposta
A equação do plano tangente é e as equações paramétricas da reta normal são: