Encontre uma equação para o plano tangente e equações paramétricas para a reta normal à superfície no ponto .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a superfície definida pela equação e um ponto específico nessa superfície. Precisamos encontrar duas coisas:
  1. Equação do plano tangente à superfície nesse ponto.
  2. Equações paramétricas da reta normal à superfície nesse mesmo ponto.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a derivada parcial para encontrar o vetor normal à superfície.

Passo 2

Vamos começar encontrando as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos ajudam a determinar a inclinação da superfície em relação a cada uma das variáveis.
A derivada parcial em relação a é:
A derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto . Substituindo e :
Para :
Para :

Passo 4

O vetor normal à superfície no ponto é dado pelo vetor gradiente, que é composto pelas derivadas parciais:

Passo 5

A equação do plano tangente pode ser escrita usando o vetor normal e o ponto . A fórmula geral é:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Passo 6

Para encontrar as equações paramétricas da reta normal, usamos o vetor normal como direção da reta e o ponto como ponto de partida. As equações paramétricas são:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação do plano tangente é e as equações paramétricas da reta normal são:

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