Encontre todos os pontos da superfície
, nos quais a reta normal é paralela à reta que passa por
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma superfície dada por
, que é uma hipérbole de duas folhas. Queremos encontrar todos os pontos dessa superfície onde a reta normal é paralela à reta que passa pelos pontos
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender como achar a normal à superfície e como verificar o paralelismo com a reta dada.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a reta que passa por
e
. A direção dessa reta é dada pela diferença entre os pontos
e
:
Então, a direção da reta é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a normal à superfície
em um ponto
. A normal pode ser encontrada calculando o gradiente da função
:
Então, o vetor normal é
.
Passo 4
Queremos que a reta normal seja paralela �� reta
. Para vetores serem paralelos, eles devem ser múltiplos um do outro. Portanto, deve existir um escalar
tal que:
Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 5
Resolvendo o sistema:
- Da segunda equação:
→ - Da terceira equação:
→ - Da primeira equação:
→
Passo 6
Agora, substituímos
na equação da superfície
:
Passo 7
Com
:
Com
:
Resposta
Os pontos são
e
.
Exercícios relacionados
Mostre que toda reta que é normal à esfera
passa pela origem.
Encontre dois vetores unitários que são normais a superfície
no ponto
.
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do elipsoide
no ponto
.
Encontre equações paramétricas para a reta tangente à curva de interseção dos cilindros
e
no ponto