Encontre todos os pontos da superfície , nos quais a reta normal é paralela à reta que passa por e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma superfície dada por , que é uma hipérbole de duas folhas. Queremos encontrar todos os pontos dessa superfície onde a reta normal é paralela à reta que passa pelos pontos e . Para resolver isso, vamos precisar entender como achar a normal à superfície e como verificar o paralelismo com a reta dada.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a reta que passa por e . A direção dessa reta é dada pela diferença entre os pontos e :
Então, a direção da reta é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a normal à superfície em um ponto . A normal pode ser encontrada calculando o gradiente da função :
Então, o vetor normal é .

Passo 4

Queremos que a reta normal seja paralela �� reta . Para vetores serem paralelos, eles devem ser múltiplos um do outro. Portanto, deve existir um escalar tal que:
Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 5

Resolvendo o sistema:
  1. Da segunda equação:
  2. Da terceira equação:
  3. Da primeira equação:

Passo 6

Agora, substituímos na equação da superfície :

Passo 7

Com :
Com :

Resposta

Os pontos são e .

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