Encontre o domínio de cada função.
f(x) = raiz((x + 3) / (x^2 - 2x))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o domínio da função . Basicamente, o domínio é o conjunto de todos os valores de que a função está “valendo” ou seja, que não dá nenhum problema na hora de calcular, como divisão por zero ou raiz de número negativo. Vamos precisar entender sobre raízes quadradas e frações para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a raiz quadrada: . Para essa raiz ser válida, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero. Ou seja:
Além disso, a gente também precisa garantir que o denominador da fração não seja zero, porque dividir por zero não dá certo. Então, temos duas condições que a gente vai resolver.

Passo 3

Vamos começar garantindo que o denominador não seja zero. O denominador é . Vamos resolver:
Fatorando:
Então, e .

Passo 4

Agora, vamos resolver a desigualdade . Para isso, vamos analisar os sinais do numerador e do denominador.
  • Numerador :
    • Positivo quando ou seja, .
    • Zero quando .
    • Negativo quando .
  • Denominador :
    • É uma multiplicação de dois termos.
    • Vamos analisar os intervalos divididos pelos pontos críticos e .
Agora, vamos montar uma tabela de sinais:
Intervalo
Negativo Positivo Positivo Positivo
Negativo Negativo Positivo Positivo
Negativo Negativo Negativo Positivo
Positivo Positivo Negativo Positivo
Negativo Positivo Negativo Positivo
Queremos que a fração seja maior ou igual a zero, então olhamos onde ela é positiva ou zero:
Lembrando que não pode ser 0 ou 2 por causa do denominador.

Resposta

O domínio da função é:

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