Encontre o domínio de cada função.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o domínio da função
. Basicamente, o domínio é o conjunto de todos os valores de
que a função está “valendo” ou seja, que não dá nenhum problema na hora de calcular, como divisão por zero ou raiz de número negativo. Vamos precisar entender sobre raízes quadradas e frações para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a raiz quadrada:
. Para essa raiz ser válida, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero. Ou seja:
Além disso, a gente também precisa garantir que o denominador da fração não seja zero, porque dividir por zero não dá certo. Então, temos duas condições que a gente vai resolver.
Passo 3
Vamos começar garantindo que o denominador não seja zero. O denominador é
. Vamos resolver:
Fatorando:
Então,
e
.
Passo 4
Agora, vamos resolver a desigualdade
. Para isso, vamos analisar os sinais do numerador e do denominador.
-
Numerador
: - Positivo quando
ou seja, . - Zero quando
. - Negativo quando
.
- Positivo quando
-
Denominador
: - É uma multiplicação de dois termos.
- Vamos analisar os intervalos divididos pelos pontos críticos
e .
Agora, vamos montar uma tabela de sinais:
Intervalo |
|
|
|
|
---|---|---|---|---|
|
Negativo | Positivo | Positivo | Positivo |
|
Negativo | Negativo | Positivo | Positivo |
|
Negativo | Negativo | Negativo | Positivo |
|
Positivo | Positivo | Negativo | Positivo |
|
Negativo | Positivo | Negativo | Positivo |
Queremos que a fração seja maior ou igual a zero, então olhamos onde ela é positiva ou zero:
Lembrando que
não pode ser 0 ou 2 por causa do denominador.
Resposta
O domínio da função é: