É verdadeiro ou falso?
A série de Fourier de uma função ímpar tem para todo .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está perguntando. Temos uma afirmação sobre a série de Fourier de uma função ímpar. O conteúdo envolvido aqui é Séries de Fourier, que é uma maneira de representar funções periódicas como a soma de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar saber a diferença entre funções ímpares e pares, e como isso afeta os coeficientes na série de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função ímpar é aquela que satisfaz para todo . Exemplos de funções ímpares incluem e .

Passo 3

A série de Fourier de uma função geral pode ser escrita assim:
Aqui, são os coeficientes dos termos de cosseno e são os coeficientes dos termos de seno.

Passo 4

Para funções ímpares, como vimos, . Agora, vamos pensar sobre os integrais que calculam os coeficientes e .
O coeficiente é calculado por:
Como é ímpar e é par, o produto de uma função ímpar por uma par é ímpar. A integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico é zero. Portanto, para todo .

Passo 5

Por outro lado, o coeficiente é calculado por:
Aqui, é ímpar e também é ímpar, então o produto de duas funções ímpares é par. A integral de uma função par pode ser diferente de zero, então os coeficientes geralmente não são zero.

Resposta

Verdadeiro.

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