É verdadeiro ou falso?
A série de Fourier de uma função ímpar tem
para todo
.
A série de Fourier de uma função ímpar tem
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está perguntando. Temos uma afirmação sobre a série de Fourier de uma função ímpar. O conteúdo envolvido aqui é Séries de Fourier, que é uma maneira de representar funções periódicas como a soma de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar saber a diferença entre funções ímpares e pares, e como isso afeta os coeficientes na série de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função ímpar é aquela que satisfaz
para todo
. Exemplos de funções ímpares incluem
e
.
Passo 3
A série de Fourier de uma função geral pode ser escrita assim:
Aqui,
são os coeficientes dos termos de cosseno e
são os coeficientes dos termos de seno.
Passo 4
Para funções ímpares, como vimos,
. Agora, vamos pensar sobre os integrais que calculam os coeficientes
e
.
O coeficiente
é calculado por:
Como
é ímpar e
é par, o produto de uma função ímpar por uma par é ímpar. A integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico
é zero. Portanto,
para todo
.
Passo 5
Por outro lado, o coeficiente
é calculado por:
Aqui,
é ímpar e
também é ímpar, então o produto de duas funções ímpares é par. A integral de uma função par pode ser diferente de zero, então os coeficientes
geralmente não são zero.
Resposta
Verdadeiro.
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