Revise o critério das séries alternadas para convergência de séries.
Passo 1
Então, você quer revisar o Critério das Séries Alternadas para verificar a convergência de séries. Isso faz parte do estudo de séries numéricas, que são somas de termos que seguem uma certa regra. Para entender esse critério, vamos precisar saber o que são séries alternadas e quais são as condições para elas convergirem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série alternada. É uma série onde os sinais dos termos alternam entre positivo e negativo. Por exemplo:
Passo 3
O Critério das Séries Alternadas nos ajuda a determinar se uma série alternada converge, ou seja, se a soma dos seus termos se aproxima de um valor específico conforme adicionamos mais termos.
Passo 4
Para aplicar esse critério, precisamos verificar duas condições principais:
-
Decrescimento dos Termos: Os valores absolutos dos termos da série devem estar diminuindo conforme n aumenta. Em outras palavras, cada termo seguinte é menor que o anterior:
-
Limite dos Termos: O limite dos termos da série, quando n tende ao infinito, deve ser zero:
Passo 5
Se ambas as condições forem satisfeitas, podemos concluir que a série alternada converge. Ou seja, a soma dos seus termos tende a um número fixo conforme adicionamos mais termos.
Passo 6
Vamos ver um exemplo prático. Considere a série:
- Decrescimento dos Termos:
, então os termos estão diminuindo. - Limite dos Termos:
.
Como as duas condições são atendidas, a série converge.
Resposta
O Critério das Séries Alternadas afirma que uma série alternada converge se os termos em valor absoluto estão decrescendo e tendem a zero conforme n aumenta. Portanto, ao verificar esses dois pontos, podemos determinar a convergência de séries que alternam sinais.
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