Encontre o domínio e esboce o gráfico da função.
47.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de funções por partes! A questão pede para encontrar o domínio da função e esboçar o gráfico dela. Para isso, vamos precisar entender como a função se comporta em cada parte definida pelas condições e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.

Passo 3

Observando a função:
Para , a expressão é definida para todos os números reais menores que zero. Para , a expressão também está definida para todos os números reais maiores ou iguais a zero. Não há restrições como divisão por zero ou raízes de números negativos.

Passo 4

Portanto, o domínio da função é todos os números reais. Em termos matemáticos:
í

Passo 5

Agora, vamos esboçar o gráfico da função. Vamos analisar cada parte separadamente.
Para :
Esta é uma reta com coeficiente angular 1 e intercepto em 2. Isso significa que a reta sobe com uma inclinação de 45 graus e cruza o eixo no ponto .
Para :
Esta também é uma reta, mas com coeficiente angular -1 e intercepto em 1. A reta desce com uma inclinação de 45 graus e cruza o eixo no ponto .

Passo 6

Vamos identificar o ponto de junção das duas partes da função. No :
Então, a reta se aproxima de quando se aproxima de 0 pela esquerda, mas no ponto , a função assume o valor 1.

Passo 7

Para esboçar o gráfico:
  • Desenhe uma reta aumentando até chegar próximo a para .
  • No ponto , inicie a reta decrescente para .

Resposta

O domínio da função é todos os números reais ( ). O gráfico é composto por duas retas: para , uma reta crescente definida por , e para , uma reta decrescente definida por . As duas retas se encontram no ponto .

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