Questão 04 Em cada caso, faça o que se pede (Valor: 5,0 pontos):
e) Determine lim x 0 e^x-2 cdot cos (x)+1x+2 cdot sen x
(Valor: 1,0 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está dentro do tópico de Cálculo de Limites, onde precisamos entender como uma função se comporta quando a variável se aproxima de determinado valor, nesse caso, 0. Para resolver, vamos usar a Regra de L’Hospital, que é útil quando o limite resulta em uma forma indeterminada como .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se ao substituir e^0 - 2 cdot cos(0) + 1 = 1 - 2 cdot 1 + 1 = 0 temos realmente uma forma indeterminada. Calculando o numerador:
0 + 2 cdot sen(0) = 0 + 0 = 0
E o denominador:
Então, temos , uma forma indeterminada. Isso significa que podemos aplicar a Regra de L’Hospital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 3

Vamos derivar o numerador e o denominador em relação a ddx(e^x - 2 cdot cos(x) + 1) = e^x + 2 cdot sen(x) .
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:

Passo 4

Agora, substituímos limx 0 e^x + 2 cdot sen(x)1 + 2 cdot cos(x) = e^0 + 2 cdot sen(0)1 + 2 cdot cos(0) = 1 + 01 + 2 cdot 1 = 13 nas derivadas para calcular o novo limite:

Resposta

O limite é .

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