Encontre o domínio e esboce o gráfico da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio da função e fazer um esboço do gráfico dela. A função que a gente tem é uma função por partes, ou seja, ela tem regras diferentes dependendo dos valores de
. Vamos usar conceitos de funções e gráficos para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. No nosso caso, a função
está definida por duas expressões diferentes:
Passo 3
Vamos analisar cada parte para ver para quais valores de
cada expressão é válida.
-
Para
:
A expressão é. Não há restrições aqui, pois qualquer número real menor que zero pode ser substituído em . -
Para
:
A expressão é. Novamente, não há restrições, qualquer número real maior ou igual a zero funciona aqui.
Passo 4
Como ambas as partes da função estão definidas para todos os valores de
que pertencem aos seus respectivos intervalos, o domínio da função
é todo o conjunto dos números reais. Em notação matemática:
Passo 5
Agora, vamos esboçar o gráfico da função. Como a função é por partes, vamos desenhar cada parte separadamente e depois juntar.
-
Para
:
A expressão é, que é uma reta com coeficiente angular 1 e coeficiente linear 2. Isso significa que a reta passa pelo ponto e tem inclinação positiva. -
Para
:
A expressão é, que também é uma reta, mas com coeficiente angular -1 e coeficiente linear 1. Essa reta passa pelo ponto e tem inclinação negativa.
Passo 6
Vamos verificar a continuidade no ponto onde as duas partes se encontram, que é
:
-
Quando
se aproxima de 0 pela esquerda ( ): -
Quando
ou se aproxima pela direita ( ):
Como os limites não são iguais (
), há uma descontinuidade no ponto
.
Passo 7
Para esboçar o gráfico:
- Desenhe a reta
para . Use um círculo aberto no ponto indicando que o valor 2 não está incluído. - Desenhe a reta
para . Use um círculo fechado no ponto indicando que o valor 1 está incluído.
Isso mostrará claramente a descontinuidade no ponto
e como a função se comporta em cada intervalo.
Resposta
O domínio da função
é todo o conjunto dos números reais, ou seja,
. O gráfico da função consiste em duas retas:
- Para
, a reta com inclinação positiva. - Para
, a reta com inclinação negativa.
Há uma descontinuidade no ponto
, onde as duas partes da função não se encontram.
Exercícios relacionados
Encontre uma fórmula para a função inversa, ou seja, dada
obtenha
em cada caso.
Simplifique as expressões abaixo
Utilize estudo de sinais para eliminar o módulo das seguintes expressões:
Começando com o gráfico de
, escreva as equações correspondentes aos gráficos que resultam ao refletir em torno do eixo
e, depois, do eixo