Encontre o domínio e esboce o gráfico da função.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio da função e fazer um esboço do gráfico dela. A função que a gente tem é uma função por partes, ou seja, ela tem regras diferentes dependendo dos valores de . Vamos usar conceitos de funções e gráficos para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. No nosso caso, a função está definida por duas expressões diferentes:

Passo 3

Vamos analisar cada parte para ver para quais valores de cada expressão é válida.
  1. Para :
    A expressão é . Não há restrições aqui, pois qualquer número real menor que zero pode ser substituído em .
  2. Para :
    A expressão é . Novamente, não há restrições, qualquer número real maior ou igual a zero funciona aqui.

Passo 4

Como ambas as partes da função estão definidas para todos os valores de que pertencem aos seus respectivos intervalos, o domínio da função é todo o conjunto dos números reais. Em notação matemática:
í

Passo 5

Agora, vamos esboçar o gráfico da função. Como a função é por partes, vamos desenhar cada parte separadamente e depois juntar.
  1. Para :
    A expressão é , que é uma reta com coeficiente angular 1 e coeficiente linear 2. Isso significa que a reta passa pelo ponto e tem inclinação positiva.
  2. Para :
    A expressão é , que também é uma reta, mas com coeficiente angular -1 e coeficiente linear 1. Essa reta passa pelo ponto e tem inclinação negativa.

Passo 6

Vamos verificar a continuidade no ponto onde as duas partes se encontram, que é :
  • Quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ):
  • Quando ou se aproxima pela direita ( ):
Como os limites não são iguais ( ), há uma descontinuidade no ponto .

Passo 7

Para esboçar o gráfico:
  • Desenhe a reta para . Use um círculo aberto no ponto indicando que o valor 2 não está incluído.
  • Desenhe a reta para . Use um círculo fechado no ponto indicando que o valor 1 está incluído.
Isso mostrará claramente a descontinuidade no ponto e como a função se comporta em cada intervalo.

Resposta

O domínio da função é todo o conjunto dos números reais, ou seja, . O gráfico da função consiste em duas retas:
  • Para , a reta com inclinação positiva.
  • Para , a reta com inclinação negativa.
Há uma descontinuidade no ponto , onde as duas partes da função não se encontram.

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